szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2006, o 16:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 101
Lokalizacja: Wilmesau
Znajdź stosunek przyprostokątnych, wiedząc, że stosunek wysokości do środkowej ( wyprowadzonych z wierzchołka kąta prostego) wynosi 40/41.

Nie potrafię tego rozwiązać, zawsze pojawia mi się jeszcze cos lub sin. Proszę o wszelakie wskazówki!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2006, o 17:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
Mamy obliczyć stosunek długości przyprostokątnych, czyli tangens kąta ostrego tego trójkąta. Zrób sobie ładny rysunek, oznacz kąty (niech kąty ostre będą miały miary \alpha i \beta) i zauważ, że jeśli oznaczysz sobie kąt między środkową a wysokością jako \phi, to z treści zadania mamy \cos\phi=\frac{40}{41}, skąd łatwo (mam nadzieję, że wiesz jak to się robi) stwierdzić, że \tan\phi=\frac{9}{40}.
Teraz zauważ, że środkowa w trójkącie prostokątnym poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie dł. przeciwprostokątnej (namaluj sobie okrąg opisany na tym trójkącie i patrząc na rysunek pomyśl, dlaczego tak jest :wink: ), a co za tym idzie - dzieli ona trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, czyli kąty między tą środkową a przyprostokątnymi wynoszą \alpha i \beta. Ponadto wiemy, że wysokość w trójkącie prostokątnym dzieli go na dwa trójkąty podobne - czyli znowu kąty między wysokością a przyprostokątnymi mają \alpha i \beta (ale tym razem odwrotnie niż w przypadku środkowej - jak przedtem miałeś "po lewej" \alpha a "po prawej" \beta to teraz będzie dokładnie na odwrót).
Z powyższych dwóch wniosków wynika, że \phi=\alpha-\beta (lub \phi=\beta-\alpha - w zależności od sytuacji na twoim rysunku i tego, który kąt jest większy - ja mam większy kąt \alpha więc zakładam że \phi=\alpha-\beta). Przekształcając równość dostajemy \alpha=\phi+\beta. Zatem \tan\alpha=tan(\phi+\beta), czyli (korzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkacie prostokątnym) \frac{1}{\tan\beta}=\tan(\phi+\beta). Korzystamy ze wzoru na tangens sumy (\tan(\phi+\beta)=\frac{\tan\phi+\tan\beta}{1-\tan\phi\cdot\tan\beta}), podstawiamy za \tan\phi znaną nam jego wartość, wymnażamy ułamki po obu stronach równania "na krzyż" i przenosząc wszystko na jedną stronę dostajemy śliczne równanko kwadratowe \tan^{2}\beta+\frac{9}{20}\tan\beta-1=0, które rozwiązaujemy i dostajemy rozwiązanie naszego zadania: \tan\beta=\frac{4}{5}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2006, o 17:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 93
Lokalizacja: Bielsko-Biała
DEXiu napisał(a):
Zatem \tan\alpha=tan(\phi+\beta), czyli (korzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkacie prostokątnym) \frac{1}{\tan\beta}=\tan(\phi+\beta).


mozesz dla mnie przytoczyc ta definicje i wytłumaczyć skąd to się wzieło ?





edit:
aaah, juz czaje
ale mogłes wyliczyc \tan\alpha=tan(\phi+\beta), a potem zrobic na samym koncu odwrotnosc ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2006, o 18:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 101
Lokalizacja: Wilmesau
Przy standradowych oznaczeniach"
tg\alpha =\frac{a}{b}=ctg\beta a ctg\beta=\frac{1}{tg\beta}

tak :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Stosunek pól - Tales  Taex  3
 obliczyć stosunek powstałych figur - symetralna  annie1232  0
 Trójkąt prostokątny - obliczanie wyskości  7razy  5
 Stosunek ramion trójkąta  Aasiolekk  1
 Oblicz stosunek długości boku a trójkąta  insidee  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl