szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 paź 2009, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 97
Lokalizacja: Lublin
\frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} }> \sqrt{n} dla n>1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2009, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dla n=2 mamy do udowodnienia nierówność:
1+\frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}
która jest oczywista.

Załóżmy więc, że dla pewnego n \geq 2 zachodzi:
\frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} }> \sqrt{n}
i pokażmy że wówczas:
\frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n}}+ \frac{1}{\sqrt{n+1}}> \sqrt{n+1}

Mamy (pierwsza nierówność z założenia indukcyjnego):
\frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n}}+ \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}= \\  \\ 
= \frac{\sqrt{n(n+1)} +1}{\sqrt{n+1}} > \frac{\sqrt{n^2} +1}{\sqrt{n+1}} = \frac{n+1}{\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}
co kończy dowód drugiego kroku indukcyjnego.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij tożsamość - zadanie 7  robin5hood  0
 Pokazać metodą indukcji- trzy zadanka  jajokop  1
 Zasada indukcji - zadanie 2  drago7770  1
 Udowodnij, że - zadanie 13  Roudin  2
 Udowodnij indukcyjnie "f(n)=f(n-1)f(n-2) dla n>6  kemoth  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl