szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Kraków
hej,
uczę się na sprawdzian z indukcji matematycznej i postanowiłam przerobić wszystkie zadania z książki jeszcze raz w ramach powtórki 8-) ale mam problem z jednym zadaniem:

Trzeba udowodnić za pomocą indukcji matematycznej, że \sum_{n}^{i=1} 3i(i=4) =  \frac{n(n+1)(2n+13)}{2} jest prawdziwe dla n \in  Z^{+}

No to liczę:

3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2}
krok 1.

Dla n=1
lewa strona równania = 3 \cdot 1(1+4) = 15

prawa strona równania = \frac{1(1+1)(2 \cdot 1+13)}{2} = 15


lewa strona równania = prawa strona równania, więc krok 1. jest prawdziwy

krok 2.

Stawiam tezę:

Jeśli 3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2} jest prawdziwe, to 3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) + 3 \cdot (n+1)(n+1+4) =  \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+13)}{2} też musi być prawdziwe.

Sprawdzam powyższą tezę:

3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) + 3 \cdot (n+1)(n+1+4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2} + 3 \cdot (n+1)(n+1+4) =  \frac{n(n+1)(2n+13)}{2} +  \frac{3 \cdot 2 \cdot (n+1)(n+1+4)}{2} =  \frac{n(n+1)(2n+13) + 6 \cdot (n+1)(n+1+4)}{2}

no i tu zaczyna się problem. Wiem, że to zadanie j e s t prawdziwe, ale nie wiem jak sprowadzić \frac{n(n+1)(2n+13) + 6 \cdot (n+1)(n+1+4)}{2} do formy \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+13)}{2}

Proszę pomóżcie!!! W poniedziałek mam sprawdzian :cry:

PS: uczę się matematyki w j. ang. więc jeśli jakieś oznaczenia itp. są żle to pewnie dlatego, że w ang. są inne.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Ełk
wszystko jest dobrze i prawie skończyłaś, wyłącz (n+1) przed nawias wymnóż to co zostanie, możesz liczyć deltę, albo możesz spróbować to jakoś zmyślnie poprzekształcać i wyjdzie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 16:18 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Kraków
dzięki za pomoc :D wyłanczałam (n+1) przed nawias ale sprawdziłam notatki i okazało się, że w pewnym momencie mnożyłam zamiast dodawać :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 16:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 684
Lokalizacja: Wrocław
Jeśli nie wiesz, ja przejść od jednej postaci do drugiej, to nie rób tego. Oznacz sobie lewą i prawą stronę tezy literkami, np.: L i P, a potem liczysz je osobno.
L=\frac{n(n+1)(2n+13)+6\cdot (n+1)(n+1+4)}{2}=... wymnóż wszystkie nawiasy
P=\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+13)}{2}=... zrób to samo co wcześniej
Teraz porównujesz liczby L i P. Jeśli obie są takie same, to znaczy, że udowodniłeś równość. Pod spodem po prostu dopisz L=P.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem z równaniem - zadanie 5  ftims  2
 problem z równaniem - zadanie 10  konpik  1
 Problem z równaniem - zadanie 11  Zielony/Green  7
 Problem z równaniem - zadanie 36  Adamcio121  8
 problem z równaniem - zadanie 15  kolezankaqq  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl