szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 17:28 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Wrocław
Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 8 ^{n}  +6 jest podzielna przez 7.

1) kiedy n=1 wiemy jak rozwiązać
2)n \ge 1
\left[   \bigwedge\limits_{k\in N}  \left( 8^{n}  +6 = 7k \right)  \right]  \Rightarrow   \left[  \bigwedge\limits_{s\in N} \left( 8 ^{n+1} +6=7s \right)  \right]

Dowód
8 ^{n+1} +6= 8 \cdot (8^{n}+6)-42=8 \cdot 7k-42=7(8k-6)=7s, gdzie s=8k-6\in N,bo k\in N .

Jak doszło do tego ze odjęliśmy 42, skąd to się wzięło?

Czym mógłby ktoś wytłumaczyć jak się rozwiązuje takie zadania(konkretnie dowód) na innym przykładzie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 18:20 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
8^{n+1}+6=8 \cdot 8^{n}+6=8 \cdot (8^{n}+6)-42, zapisujemy to w tej postaci, żeby można było łatwo skorzystać z założenia indukcyjnego (zastąpić wyrażenie w nawiasie przez wartość 8^{n}+6, która na mocy założenia indukcyjnego wynosi 7k).

Inny przykład: pokazać, że liczba 10^{n}-1 jest podzielna przez 9 dla dowolnego n\in N

Jeśli mam wytłumaczyć na czym polega dowód indukcyjny to wygląda to mniej więcej tak:
(1)mamy udowodnić, że jakieś twierdzenie (forma zdaniowa) T(n) jest prawdziwe dla dowolnego naturalnego n
(2)w początku indukcji sprawdzamy, czy dla n=1 to twierdzenie jest prawdziwe
(3)potem wykazujemy, że dla dowolnego n, jakie weźmiemy, z prawdziwości twierdzenia dla n wynika prawdziwość twierdzenia dla n+1
(4)skoro wiemy, że T(1) jest prawdziwe i skoro pokazaliśmy to, co opisałem w (3), to znaczy, że T(2) też jest prawdziwe; skoro T(2) jest prawdziwe i skoro pokazaliśmy to, co opisałem w (3), to znaczy, że T(3) też jest prawdziwe i możemy tak rozumować aż do nieskończoności. Wniosek: twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego n

Dowód (metodą indukcji względem n):
1) Początek indukcji: twierdzenie jest prawdziwe dla n=1, bo wtedy 10^{n}-1=9 i 9 dzieli się przez 9
2) Założenie indukcyjne: twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego n, czyli 10^{n}-1 dzieli się przez 9, czyli 10^{n}-1=9k, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą
3) Teza indukcyjna: Twierdzenie jest prawdziwe dla następnej liczby naturalnej, tzn dla n+1, 10^{n+1}-1 jest podzielne przez 9, czyli 10^{n+1}-1=9l, gdzie l jest pewną liczbą całkowitą
4) Dowód:
10^{n+1}-1=10 \cdot 10^{n}-1=10 \cdot 10^{n}-10+9=10(10^{n}-1)+9=10 \cdot 9k+9=9(10k+1), czyli 10^{n+1}-1 rzeczywiście jest postaci 9l,l\in C ( bo liczba 10k+1 jest całkowita)
5) Wniosek: skoro twierdzenie jest prawdziwe dla n=1 i z prawdziwości twierdzenia dla n wynika prawdziwość twierdzenia dla n+1, to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: z pokoju
Przepraszam, że odkopuję temat, ale nurtuje mnie pewna sprawa.
Napisałeś: 10^{n+1}-1=10 \cdot 10^{n}-1=10 \cdot 10^{n}-10+9=10(10^{n}-1)+9=10 \cdot 9k+9=9(10k+1)

skąd tam się wzięło to 10(10^{n}-1) +9 ? skąd to +9 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 20:32 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
-1=-10+9.

Po co to robimy? Ano po to, żeby w tym wyrażeniu móc "odnaleźć" 10^n-1 i wykorzystać założenie indukcyjne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2011, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: z pokoju
No ale skoro jest -1=-10+9 to skąd tam dalej bierze się to +9 skoro zrobiliśmy z niego (i -10) -1?

Dlaczego nie zostaje samo =10(10^{n}-1)? tylko jest =10(10^{n}-1)+9 skoro -10+9 zastąpiono 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2011, o 20:17 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
kuba_94 napisał(a):
skoro -10+9 zastąpiono 1


W którym miejscu?

Mamy tak: 10^{n+1}\red -1 \black=10 \cdot 10^{n}\red -1\black=10 \cdot 10^{n}\red -10+9\black

Dotąd chyba zgadzasz się, że jest OK?

Dalej dziewiatkę zostawiamy w spokoju, a 10 \cdot 10^n-10=10(10^n-1) (wyciągnęliśmy 10 przed nawias) i wszystko się zgadza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2011, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: z pokoju
aaa, ok, dzięki za wyjaśnienie ;)

Dopiero zaczynam zadania z indukcją dlatego tyle pytań :p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 13:31 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
Sorki że się wtrącam ale od dłuższego czasu zastanawiam sie nad tą indukcją i nie za bardzo mogę ją pojąć, wszystko w tych wyliczeniach wydaje sie byc logiczne według zasad liczenia zadań z idukcji ale nie rozumiem jak można zakładać że 10^{n}-1=9k równa się zawsze 9k skoro sprawdziliśmy to tylko na jednym przykładzie z jedynką i jeszcze potem to wyrażenie wstawiać do dalszych wyliczeń(dowodu),, czy ktoś potrafi to jakoś bardziej sensownie wytłumaczyć na jakiej podstawie działa ten dowód ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 13:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1314
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
darek334 napisał(a):
Sorki że się wtrącam ale od dłuższego czasu zastanawiam sie nad tą indukcją i nie za bardzo mogę ją pojąć.

pzdr.


Za moich czasów szkolnych dawno dawno temu :) tłumaczyli indukcję na kostkach domina. Widziałeś pewnie w telewizji kiedyś, jak najpierw budują dużo dużo sztuk różne zawijasy a potem przewracają.

Jeżeli wiesz dwie rzeczy:

1)przewróciłeś pierwszą kostkę domina
2)kostki stoją tak że jeśli któraś upadnie, to następna za nią w szeregu też się przewraca

to wiesz że się wszystkie wywalą, z grubsza na tym polega indukcja :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
Sorrka ale Twój przykład kostek domina nie wyjaśnia mi zasad działania indukcji, chodzi mi o jakiś matematyczny dowód dlaczego tak to działa bo kostki niczego nie udowadniają niestety. Tak samo moge powiedzieć że skoro 3+n jest podzielne przez 4 bo podstawiłem sobie tam jedynkę to zawsze wyrażenie to będzie podzielne przez 4, co nie jest prawdą, tak więc kostki domina tutaj nie działają :)...

pzdr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 14:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1314
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
darek334 napisał(a):
Sorrka ale Twój przykład kostek domina nie wyjaśnia mi zasad działania indukcji, chodzi mi o jakiś matematyczny dowód dlaczego tak to działa bo kostki niczego nie udowadniają niestety. Tak samo moge powiedzieć że skoro 3+n jest podzielne przez 4 bo podstawiłem sobie tam jedynkę to zawsze wyrażenie to będzie podzielne przez 4, co nie jest prawdą, tak więc kostki domina tutaj nie działają :)...

pzdr.



przewróciłeś pierwszą kostkę => udowodniłeś prawdziwość dla n=1

Wiesz ,że są ustawione tak,że każda wywala następną=> z prawdziwości dla n wynika prawdziwość dla n+1

wywalasz pierwsza kostke,ona przewraca drugą , a druga trzecią i tak to leci dalej - to nie miał być dowód tylko obrazowy przykład jak działa indukcja :)

Tylko żeby to działało w indukcji to musisz rzeczywiście pokazać że "każda kostka potrącona przewraca następną" i poto jest założenie indukcyjne i teza indukcyjna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
:) no spoko kostki są fajne i wiadomo że sie przewróca :) tylko jak to sie ma do tych przykładów ??

Kilka rzeczy jest tam jasnych, to że najmniejszym wynikiem jest 9 bo jest to zgodne z własnoscią liczb naturalnych, że zawsze w ich zbiorze jest liczba najmniejsza, co w sumie nie wiem dlaczego, ale zawsze się to podkreśla, widocznie jest to bardzo istotne -ale dlaczego?, i to że k jest też zawsze liczbą naturalną, ale założenie że to wyrażenie zawsze równa sie =9k jest juz dla mnie dziwne, bo już z tego założenia wynika że 9k jest zawsze podzielne przez 9 jeżli k jest liczbą naturalną.

Po za tym te przykłady że przewróciłem pierwsza kostkę to udowodniłem prawdziwości dla n=1 sa troszke śmieszne i infantylne jak dla dzieci w przedszkolu i nijak sie mają do matematyki, bo żeby cos udowodnic w naukach ścisłych to trzeba to wyliczyc a nie przewracac kostki tak samo mogło by byc z dzieleniem przez "zero" ktos cos gada że nie ma tego dzielenia a ja se stwierdze że jest i udowodnij mi że nie ma :), kostki Ci nie pomogą :)...

pzdr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 15:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
W ramach szkolnej aksjomatyki liczb naturalnych, indukcję matematyczną przyjmuje się za pewnik (piąty aksjomat Peano).

Jeżeli nie chcemy używać tej aksjomatyki, to najczęściej dowodzi się to z innego aksjomatu - aksjomatu dobrego porządku zbioru liczb naturalnych (każdy podzbiór tego zbioru ma swój element najmniejszy).

Jak to można jednak zrozumieć intuicyjnie, bez odwoływania się do kostek domina?
Zauważ, że w indukcji dowodzisz dwóch rzeczy:
a) tego, że dla jakiejś liczby twierdzenie jest poprawne (najczęściej dla jedynki właśnie)
b) tego, że jeżeli twierdzenie było prawdziwe dla jakiejś liczby, to jest też prawdziwe dla liczby o jeden większej
Czyli, w podanym tutaj przykładzie, udowadniamy "ręcznie" dla n=1 oraz udowadniamy część drugą - że jeżeli działa dla jakiegoś k, to dla k+1 też będzie.
Wiedząc to, wiemy, że jak działa dla jedynki, to działa też dla dwójki. Jak działa dla dwójki, to działa i dla trójki. A jak działa dla trójki...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
Czy można udowodnić że n+3 nie jest podzielne przez 4 ??
bo dla n=1 jest podzielne.

Tak wracając jeszcze do przykładu wyżej to dziwi mnie stwierdzenie że:
Cytuj:
5) Wniosek: skoro twierdzenie jest prawdziwe dla n=1 i z prawdziwości twierdzenia dla n wynika prawdziwość twierdzenia dla n+1, to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n


Co to za wniosek który oparty jest na dwóch przykładach bo jeżeli jako n mamy na myśli 1 i sprawdzenie tego wyrażenia opartego na jedynce uznajemy za prawdę bo tak wychodzi z wyliczeń oraz sprawdzając wyrażenie dla n+1, mamy wciąż na myśli n jako 1, to tak naprawde sprawdziliśmy to dla dwóch przypadków, czyli sprawdziliśmy dla n=1 i n+1=2 a wniosek mówi o wszystkich liczbach n, chyba że w dowodzie z n+1 literka n nie jest brana jako 1 ale wówczas we wniosku nie powinno sie mówić:
Cytuj:
....skoro twierdzenie jest prawdziwe dla n=1 i z prawdziwości twierdzenia dla n(równego 1) wynika prawdziwość twierdzenia dla n+1, to twierdzenie jest....

, nie kapuję tego :(....

Ciekawy jestem czy ktos udowodni że n+3 nie jest podzielne przez 4 :)....

pzdr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2011, o 22:20 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
darek334 napisał(a):
Czy można udowodnić że n+3 nie jest podzielne przez 4 ??
bo dla n=1 jest podzielne.


Ale o co tak dokładnie Ci chodzi? Chcesz udowodnić twierdzenie i od razu podajesz kontrprzykład? :)

darek334 napisał(a):
Co to za wniosek który oparty jest na dwóch przykładach bo jeżeli jako n mamy na myśli 1 i sprawdzenie tego wyrażenia opartego na jedynce uznajemy za prawdę bo tak wychodzi z wyliczeń oraz sprawdzając wyrażenie dla n+1, mamy wciąż na myśli n jako 1


Gdybym miał na myśli n jako 1, to napisałbym 1, a nie n :P

Udowadniamy najpierw, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=1.

Potem udowadniamy, że z prawdziwości twierdzenia dla dowolnego n wynika prawdziwość twierdzenia dla n+1.

Jak już to udowodnimy, to mamy pewność, że jeśli znajdziemy takie n, dla którego twierdzenie jest prawdziwe, to na 100% dla n+1 twierdzenie też będzie prawdziwe.

Na początku znaleźliśmy sobie takie n, dla którego twierdzenie jest prawdziwe - jest to n=1. Na podstawie tego, co pogrubiłem powyżej stwierdzamy, że dla n=1+1=2 twierdzenie też jest prawdziwe.

Powyżej znaleźliśmy sobie takie n, dla którego twierdzenie jest prawdziwe - jest to n=2. Na podstawie tego, co pogrubiłem powyżej stwierdzamy, że dla n=2+1=3 twierdzenie też jest prawdziwe.

Powyżej znaleźliśmy sobie takie n, dla którego twierdzenie jest prawdziwe - jest to n=3. Na podstawie tego, co pogrubiłem powyżej stwierdzamy, że dla n=3+1=4 twierdzenie też jest prawdziwe.

Mam pisać dalej? :P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 13 dla określonego wzoru - zadanie 2  mnich9131  4
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 Indukcja matematyczna - podzielność liczby  Effi  3
 Najmniejsza wspólna wielokrotność-dowód.  hUmanitO  8
 Przeprowadź dowód indukcyjny nierówności  Anonymous  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl