szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Kraków
witam, mam mały problem, a mianowicie nie mogę sobie przypomnieć jak rozłożyć funkcje wymierną na ułamki proste, gdyby ktoś mógłby rozwiązać któryś z przykładów i go wytłumaczyć byłabym wdzięczna:)


\frac{1}{ x^{2}-2x+5 }

\frac{x ^{2} }{( x^{2} -9) ^{3} }

\frac{ x^{5} -1}{x ^{3} -1}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 paź 2009, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
\frac{1}{ x^{2}-2x+5 }=\frac{1}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{1}{4i}\left(\frac{1}{1-2i}-\frac{1}{1+2i}\right)
Góra
PostNapisane: 25 paź 2009, o 00:38 
Użytkownik
xiikzodz napisał(a):
\frac{1}{ x^{2}-2x+5 }=\frac{1}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{1}{4i}\left(\frac{1}{1-2i}-\frac{1}{1+2i}\right)


eeeeeeeeee? Prosimy o wyjaśnienie :D Bo ja student nie sądzę, żeby to było dobrze
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 paź 2009, o 00:44 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
\frac{1}{ x^{2}-2x+5 }=\frac{1}{(x-1+2i)(x-1-2i)}=\frac{1}{4i}\left(\frac{1}{x-1+2i}-\frac{1}{x-1-2i}\right)
Góra
PostNapisane: 25 paź 2009, o 00:45 
Użytkownik
No i o to chodziło :P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 paź 2009, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
To powyżej oczywiście przy założeniu, że rozkładamy nad \mathbb{C}, inaczej nie ma co robić.

To korzystając z okazji:

\frac{x^2}{(x^2-9)^3}=\frac{x^2}{((x-3)(x+3))^3}

Mamy:

\frac{1}{(x-3)(x+3)}=\frac 16\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right)

skąd:

\left(\frac{1}{(x-3)(x+3)\right)^3}=\frac 1{6^3}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right)^3=

=\frac 1{6^3}\left(\frac{1}{(x-3)^3}-\frac{3}{(x-3)^2(x+3)}+\frac{3}{(x-3)(x+3)^2}-\frac{1}{(x+3)^3}\right).

Pozostają do rozpracowania wyrażenia:

\frac{1}{(x\pm 3)(x\mp 3)^2}

Na przykład (drugie wyrażenie symetrycznie):

\frac{1}{(x+3)(x-3)^2}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^2}

dla pewnych A,B,C.

Podstawiając otrzymujemy równanie:

A(x-3)^2+B(x+3)(x-3)+C(x+3)=1,

z którego grupujemy potęgi x:

Ax^2+Bx^2=0

-6A+C=0

9A-9B+3C=1

sprowadzając zagadnienie do rozwiązania układu równań:

\begin{cases}A+B=0\\-6A+C=0\\9A-9B+3C=1\end{cases}

Wychodzi (chyba) A=\frac 1{36}, B=-\frac 1{36}, C=\frac 16.

Wygląda to paskudnie, ale chyba dużo prościej się nie da.

Jeśli chodzi o ostatni przykład:

\frac{x^5-1}{x^3-1}=\frac{x^2(x^3-1)}{x^3-1}+\frac{x^2-1}{x^3-1}=x^2+\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=x^2+\frac{x+1}{x^2+x+1}

Nad \mathbb{R} to już koniec. Nad \mathbb{C} można dalej. Oznaczmy \varepsilon=\frac{-1+\sqrt 3i}{2}.

Wówczas:

\frac{x+1}{(x-\varepsilon)(x-\overline\varepsilon)}=\frac{(x-\varepsilon)+(\varepsilon-1)}{(x-\varepsilon)(x-\overline\varepsilon)}=\frac 1{x-\overline\varepsilon}+\frac{\varepsilon-1}{i\sqrt 3}\left(\frac{1}{x-\varepsilon}-\frac{1}{x-\overline\varepsilon}\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 paź 2009, o 11:54 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Kraków
a taki przykład

\frac{1}{(3x+1) ^{2} }

może być sam wynik, chcę tylko sprawdzić czy dobrze zrozumiałam:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 paź 2009, o 12:35 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
Tu już nic nie trzeba robić.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 paź 2009, o 12:48 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Kraków
a dlaczego?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 paź 2009, o 12:49 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
Bo to już jest ułamek prosty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste  herfoo  1
 Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste - zadanie 3  Pablopablo  1
 rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste - zadanie 4  rudek  1
 rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste - zadanie 5  castell  1
 rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste - zadanie 6  xgruby907  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl