szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Pęki prostych
PostNapisane: 24 paź 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 269
Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
Dane są dwie proste:
(l)Ax+By+C=0, gdzie A^2+B^2>0
(k)A_1x+B_1y+C_1=0, gdzie A_1^2+B_1^2>0
Równanie pęku prostych ma postać:
\lambda(Ax+By+C)+\lambda_1(A_1x+B_1y+C_1)=0
\lambda \in  \Re , \lambda_1 \in \Re
Zwracam się z prośbą o wytłumaczenie skąd wzięło się równanie opisujące pęk prostych.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Pęki prostych
PostNapisane: 24 paź 2009, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
Żeby to było prawdą musi jeszcze zachodzić \lambda^2+\lambda_1^2>0. Inaczej zaplącze się tu cała płaszczyzna.

Każda prosta z pęku wyznaczonego przez dwie dane przechodzi przez punkt przecięcia tych dwóch danych prostych. Ten punkt przecięcia spełnia jednocześnie oba równania:

Ax+By+C=0

A_1x+B_1y+C_1=0

spełnia więc również równanie:

\lambda(Ax+By+C)+\lambda_1(A_1x+B_1y+C_1)=0.

Wiemy zatem, że każda prosta z rodziny opisanej tym równaniem należy do pęku.

Żeby pokazać, że dowolna prosta z pęku wyznaczonego przez dwie dane ma to równanie, wystarczy pokazać, że dla dowolnego punktu płaszczyzny istnieje prosta o równaniu postaci

\lambda(Ax+By+C)+\lambda_1(A_1x+B_1y+C_1)=0

przechodząca przez ten punkt. Wystarczy się wręcz ograniczyć do prostych przecinających jedną z osi w dowolnym punkcie (druga oś symetrycznie), bo każda prosta przecina jedną z osi. Wystarczy więc wykazać, że dla dowolnego x_0 istnieją \lambda,\lambda_1 takie, że

\lambda(Ax_0+C)+\lambda_1(A_1x_0+C_1)=0.

I rzeczywiście, albo Ax_0+C=0 i kładziemy \lambda_1=0 i \lambda dowolne różne od zera albo Ax_0+C\neq 0 i wówczas kładziemy \lambda_1=1, zaś \lambda=-\frac{A_1x_0+C_1}{Ax_0+C}.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Pęki prostych
PostNapisane: 25 paź 2009, o 11:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 269
Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
Dziękuję :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Pęki prostych
PostNapisane: 11 kwi 2015, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 171
Lokalizacja: Szczecin
Ok a jak będzie wyglądał dowód, gdy proste są równoległe bo chyba ten przypadek omineliśmy.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadać wzajemne położenie prostych - zadanie 6  Poszukujaca  5
 równania płaszczyzn i prostych  mat1989  12
 Określić wzajemne położenie prostych.  para_1989  1
 Znajdź punkt przecięcia prostych danych w formie krawędziowe  normandy  1
 Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia prostych da  JarTSW  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl