szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: małopolska
1. wykaż że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3

2. wykaż że każda liczba postaci n ^{3} - n, gdzie n  \in N ^{+} jest podzielna przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 19:27 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
taka podpowiedź.. te liczby przy dzieleniu przez 3 muszą dać resztę 1 i 2 odpowiednio..
można je zatem przedstawić w postaci a=3n+1 i b=3n+2.. wylicz różnice kwadratów i zobacz co Ci wyjdzie :)

drugie przez indukcje :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 19:31 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Bez indukcji łatwiej:
n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)
I nawet przez sześć się dzieli...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: małopolska
ehhh dalej nie wiem jak to rozwiązać ;/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
nie wiem, czy się nie chce?? Mentalność polskiej młodzieży: powiedzieć, że się nie umie i i niech ktoś to zrobi za Ciebie ;P

(3n+2)^2-(3n+1)^2=9n^2+12n+4-9n^2-6n-1=6n+3=3(2n+1) <-- to jest podzielne przez 3

2. jedna z trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3 więc ich iloczyn również jest podzielny przez 3.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: małopolska
tak to zadanie rozumiem. tylko tego drugiego nie moge zrozumiec
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
podałem argumentowanie dla rozwiązania kolegi..

jak nie tak to indukcyjnie:

dla n=1 mamy:
1^3-1=1-1=0 <-- podzielne przez 3

założenie: dla n=k:
k^3-k=3n \ \ \ n\in \mathbb{N}
teza:
(k+1)^3-(k+1)=3m \ \ \ m \in \mathbb{N}
dowód:
(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=k^3-k+3k^2+3k=3n+3k^2+3k=3(n+k^2+k)=3m
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 20:07 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: małopolska
dalej nie wiem dlaczego tak;/ skąd w tej tezie ta 1 ? :?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
na tym polega dowodzenie indukcyjne ;>
zakładamy, że jest spełnione dla k i sprawdzamy dla k+1..
Jak nie miałaś indukcji to przyglądnij się rozwiązaniu kolegi :)
przekształcił on n^3-n do postaci (n-1)n(n+1).

jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.. wiemy, że przynajmniej jedna z nich jest podzielna przez 3, zatem ich iloczyn również musi być podzielny przez 3.
3 sposobu dowodu nie znam :P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: małopolska
ale właśnie nie moge rozszyfrować tamtego zapisu kolegi ;/ skad wiemy z jego zapisu ze jest to podzielne przez 3?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
to proste.. masz jakiekolwiek 3 kolejne liczby naturalne. Nieważne która z nich jest podzielna przez 3.. ważne, że jedna na pewno jest.. załóżmy bez straty ogólności, że n jest podzielne przez 3.. możesz zapisać n=3a

wtedy:
(n-1)n(n+1)=(n-1)\cdot 3a \cdot(n+1)=3([n-1]a[n+1])
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 20:30 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: małopolska
aha. ok juz chyba rozumiem :) dziękuje
mam jeszcze problem z zadaniem :
wykaż że jeżeli w liczbie trzycyfrowej naturalnej cyfra jedności jest różna od zera, to różnica tej liczby i liczby zapisanej tymi samymi cyframi w odwrotnej kolejności jest podzielna przez 9 i 11.

2. wykaż że jeżeli w czterocyfrowej liczbie suma cyfr tysięcy i cyfry dziesiątek jest równa sumie cyfr setek i jedności to liczba jest podzielna przez 11.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 13 dla określonego wzoru - zadanie 2  mnich9131  4
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 Indukcja matematyczna - podzielność liczby  Effi  3
 wykaż, że: (a+b)^n <= 2^(n-1) (a^n + b^n)  ambrozy  2
 Wykazać podzielność  Undre  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl