szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 paź 2009, o 19:58 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
bardzo prosze o rozwiazanie do ponizszych zadan (albo chociaz o wskazówki)
zad1. dowiesc ze komutant grupy G jest jej podgrupą charakterystyczna a wiec dzielniiem normalnym
zad2. wykazac ze grupa G/H jest przemienna wtedy i tylko wtedy gdy [G,G] zawiera sie w H
zad3.wyznaczyc komutant nastepujących grup
a) grupy izometrii wlasnch trojkata rownobocznego
b) grupy izometrii wlasnych kwadratu
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 paź 2009, o 07:05 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
1. Jeśli \varphi jest dowolnym automorfizmem, zaś aba^{-1}b^{-1} dowolnym generatorem komutanta, to:

\varphi(aba^{-1}b^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)\varphi(a^{-1})\varphi(b^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)\varphi(a)^{-1}\varphi(b)^{-1}\in[G,G]

co dowodzi charakterystyczności.

2.
W lewo. Jeśli G/H jest przemienna, wówczas dla dowolnych a,b\in G istnieje h\in H taki, że ab=hba, czyli h=aba^{-1}b^{-1}. Zatem dowolny generator grupy [G,G] należy do H, czyli [G,G]\subseteq H.

W prawo. Jeśli [G,G]\subseteq H, to dla dowolnych a,b\in G istnieje h\in [G,G]\subseteq H taki, że ab=h ba. Wystarczy mianowicie wziąć h=bab^{-1}a^{-1}. A to oznacza, że elementy ab i ba leżą w tej samej warstwie (lewostronnej) G/H.

3. Ogólnie komuntantem grupy dihedralnej D_n generowanej obrotem o rzędu n i symetrią s jest podgrupa generowana przez o^2. Dowolny komutator jest bowiem postaci:

(so^i)(so^j)(o^{-i}s)(o^{-j}s)=(so^is)(o^jo^{-i})(so^{-j}s)=o^{-i}o^{j-i}o^{j}=o^{2j-2i}=(o^2)^{j-i}

W przypadku trójkąta będzie to podgrupa obrotów (3-elementowa), a w przypadku kwadratu podgrupa (2-elementowa) generowana przez symetrię środkową.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2018, o 11:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 98
Lokalizacja: Warszawa
Czym są i oraz j w tym zadaniu?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Komutant grupy - zadanie 2  Mlody Banach  3
 centrum i komutant - zadanie 2  111sadysta  0
 komutant, podgrupa  pla?cia  1
 komutator, relacje do udowodnienia  pla?cia  3
 Komutant jest podrupą normalną.  matmatmm  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl