szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2009, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Nasielsk
Niech n oznacza liczbę naturalna. Wykaż, że liczba n^{3} - n jest podzielna przez 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2009, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Z indukcji matematycznej
n \in N   a \in N
n^{3}-n=6a
dla n=1
L=1^{3}-1=0=6 \cdot 0=6a=P

Założenie indukcyjne
n^{3}-n=6a

Teza indukcyjna
(n+1)^{3}-(n+1)=6b
Dowód tezy
L=(n+1)^{3}-(n+1)= n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1=
za n^{3}-n wstawiam nasze 6a z założenia
=6a+3n^{3}+3n+1-1= 6a+3n(n+1)=6a+6c=6b=P
n(n+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb, więc na pewno jest podzielny przez 2, więc 3n(n+1) jest podzielne przez 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2009, o 22:43 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Nasielsk
no dobra tylko mi wyjasnij skad ci sie wzielo 6b i 6c. bo 6a to rozumiem ze takie zalozenie przyjoles.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2009, o 22:35 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
6b bo to będzie inna liczba niż 6a. Zmieniając lewą stronę w tezie(bo przecież zamieniam n na n+1), musi zmienić się też prawa. Nie wiem ile wynosi a, a ni ile wynosi b, ale istnieje szansa, że są to różne liczby. Dlatego w ten sposób.
6c podstawiłem sobie za 3n(n+1), żeby ewidentnie było widać, że jest to podzielne przez 6. c jest pewną liczbą naturalną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2009, o 21:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Wersja bez indukcji:
n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)
Iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 6.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazywanie - podzielność przez 7  Nividis  5
 Liczba nie dzieli przez 3  maturzysta12  6
 Uzasadnić podzielność liczby przez 33.  syntezator  4
 Wykaż podzielność przez 7  denatlu  12
 Podzielność przez 4 - zadanie 3  paulala  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl