szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2009, o 12:50 
Użytkownik

Posty: 128
Lokalizacja: Wawrzeńczyce
1. wykaż że różnica kwadratów dwóch kolejnych nieparzystych liczb naturalnych jest podzielna przez 8.
2. wykaż że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3.
3. wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
4. wykaż, że gdy n \in N_+ to kwadrat liczby postaci 2n+1 zmniejszony o 1 jest podzielna przez 8.
5. wykaż, że każda liczba postaci n^3-n, gdzie n \in N_+ jest podzielna przez 3.
6. wykaż, że jeżeli w liczbie 3-cyfrowej naturalnej cyfra jedności jest różna od 0 to różnica tej liczby i liczby zapisanej tymi samymi cyframi w odwrotnej kolejności jest podzielna przez 11 i przez 9.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2009, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 1327
1.
zapisz sobie te liczby jako 2n+1 i 2n+3:
n \in Z\\
(2n+1)^2-(2n+3)^2=
po wykonaniu wszystkich działań, będzie można wyciągnąć 8 przed nawias


2.
n \in Z\\
(3n+1)^2-(3n+2)=
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2009, o 13:11 
Użytkownik

Posty: 128
Lokalizacja: Wawrzeńczyce
maise napisał(a):
1.
zapisz sobie te liczby jako 2n+1 i 2n+3:
n \in Z\\
(2n+1)^2-(2n+3)^2=
po wykonaniu wszystkich działań, będzie można wyciągnąć 8 przed nawias

próbowałem zapisać te liczby jako (2n-1)^2-(2n-3)^2 i się gubiłem trochę w obliczeniach... ale spróbuje tym:
(2n+1)^2-(2n+3)^2= \\ 
(4n^2+4n+1)-(4n^2+12n+9)= \\ 
4n^2+4n+1-4n^2-12n-9= \\
-8n-8 = \\
8(-n-1)\\
ok wyszło :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2009, o 13:15 
Użytkownik

Posty: 1327
tak, o to chodziło

3.
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-2=
z tego możesz wyciągnąć 3

4.
tutaj masz:
(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1)

widać, że jest podzielne przez 4, poza tym n lub (n+1) jest liczbą parzystą, więc będzie podzielne przez 8

-- 11 listopada 2009, 12:17 --

5.
n^3-n=n(n^2-n)=n(n-1)(n+1)

masz iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych, więc któraś z nich musi być podzielna przez 3

-- 11 listopada 2009, 12:20 --

6.
a-liczba setek
b-liczba dziesiątek
c-liczba jedności

c \neq 0\\
100a+10b+c-(100c+10b+a)=

i będziesz mógł wyciągnąć 99, czyli jest podzielne przez 9 i 11
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2009, o 00:28 
Użytkownik

Posty: 128
Lokalizacja: Wawrzeńczyce
5.
n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)
mamy 3 kolejne liczby naturalne. i wystarczy napisać, że "w trzech kolejnych liczbach naturalnych musi znajdować się liczba podzielna przez 3" czy potrzeba jakiegoś matematycznego uzasadnienia ?

6.
liczbę 3-cyfrową zapisujemy w postaci:
100a+10b+c, zał. c \neq 0
zapisana w odwrotnej kolejności:
100c+10b+a, zał. a \neq 0
liczymy:
100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=9 \cdot 11 \cdot (a-c)
tyle wystarczy, czy należy to jeszcze "opakować" w formę "założenie - teza - dowód" ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2009, o 01:33 
Użytkownik

Posty: 1327
5. edit: już wiem, pytałam nauczycielki z matematyki
mówiła, że do tego (n-1)n(n+1) wystarczy dopisać jakiś słowny komentarz

6. sądzę, że wystarczy
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaznie podzielności przez 10 i 5  zielinciech  3
 Zadania dotyczące podzielności - zadanie 2  mikoarm  20
 Udowodnij cechę podzielności przez 11  udyka  4
 2 zadania z podzielności ze zbioru W.Sierpińskiego.  Milczek  2
 cechy podzielności  shems1988  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl