szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2009, o 19:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 648
Lokalizacja: Warszawa
Podstawowym pytaniem zadanym w tym temacie jest: W jaki sposób zmienia się natężenia pola ładunku punktowego z zależności od odległości od źródła.
Podane zagadnienie postaram się wyjaśnić jak najprościej, na poziomie licealnym. Jest to jedna z podstaw elektrostatyki, na której opiera się wiele innych problemów.
Na początku liczenia funkcji warto przypomnieć sobie pokrótce podstawowe prawa.

1. Wektor indukcji elektrycznej
\vec{D}= \frac{\Delta Q}{\Delta s}
Wielkość ta zależy tylko od źródła pola, a nie od właściwości dielektrycznych ośrodka.

Istotna zależność między natężeniem pola:
\vec{D}=\varepsilon _{o} \varepsilon _{r}  \vec{E}

2. Strumień pola

\Delta \Phi _{ \vec{D} }= \vec{D} \circ   \vec{\Delta s} - jest to iloczyn skalarny dwóch wielkości wektorowych.

3. Prawo Gaussa
Całkowity strumień wektora indukcji po dowolnej powierzchni zamkniętej jest równy ładunkowi ograniczonemu ta powierzchnią.

Wzór w najprostszym ujęciu:
\Phi _{ \vec{D}_{S} }= Q

Inne ujęcie: 61992.htm

Zacznijmy od samego początku. Pierwszą czynnością, jaką należy wykonać, żeby w ogóle można było ruszyć dalej, jest obranie tzw. powierzchni Gaussa. Jest to struktura czysto hipotetyczna tzn. nie istnieje ona naprawdę, tylko tworzymy ją w celu ułatwienia sobie życia, na potrzeby aktualnego problemu. Zrozumienie tego wymaga jedynie wyobraźni. Powierzchnia Gaussa jest bardzo często stosowana w problemach związanych z elektrostatyką
Dla ładunku punktowego najwygodniejszą zamkniętą powierzchnią Gaussa będzie sfera, ponieważ każdy punkt na tej sferze jest jednakowo oddalony od źródła. Umożliwi to ominięcie trudnych i czasochłonnych obliczeń.
Dla ustalenie uwagi, niech ładunek punktowy będzie dodatni. Odległość źródła od sfery oznaczmy przez r. W dalszym rozumowaniu powierzchnię Gaussa będę nazywać po prostu sferą.

Na sferze obieram sobie mały element powierzchni. Jest on tak mały, że można go traktować jak powierzchnię płaską. Owemu elementowi przypisuje się wektor \vec{\Delta s}. Kierunek wektora jest zgodny z kierunkiem linii pola przechodzącej przez \Delta  s. Zwrot zaś będzie skierowany na zewnątrz sfery.
Teraz zaznaczmy wektor \vec{D}. Oczywiście będzie on przyłożony do \Delta  s.
Warto zauważyć, że jego kierunek i zwrot będą takie same, jak w przypadku wektora \vec{\Delta s}.

Po części teoretycznej przejdźmy do praktyki.
Liczymy strumień pola dla \Delta  s:

\Delta \Phi _{ \vec{D} }= \vec{D} \circ  \vec{\Delta s}=D  \cdot  \Delta s \cdot cos0^{o}=D  \cdot  \Delta s

Całkowity strumień pola będzie się wyrażał wzorem:
\Phi _{ \vec{D}_{S} }= D \cdot  \sum_{k=1}^{n} \Delta s_{k}

W tym przypadku \sum_{k=1}^{n} \Delta s_{k}=4\pi r^{2}, gdzie ostatnie wyrażenie jest polem powierzchni sfery.
Zatem wstawiając do równania:
\Phi _{ \vec{D}_{S} }= D \cdot  4\pi r^{2}

Z prawa Gaussa wiemy, że \Phi _{ \vec{D}_{S} }=Q, zatem:
Q= D \cdot  4\pi r^{2}

D(r)= \frac{Q}{4\pi r^{2}}

I tak otrzymujemy szukaną zależność.

Można ją przekształcić do innej postaci:

E(r)= \frac{1}{4\pi \varepsilon _{o} \varepsilon _{r}} \cdot  \frac{Q}{r^{2}}


Warto zauważyć, że z powyższej zależności można wyprowadzić prawo Coulomba. Korzystamy ze wzoru na siłę elektrostatyczną:
F=qE

Podstawiając pod E wcześniej policzone wyrażenie otrzymujemy:
F=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{o} \varepsilon _{r}} \cdot  \frac{Qq}{r^{2}}

Jest to oczywiście wzór obrazujący prawo Coulomba.

Pozdrawiam. ;)

Wszelkie uwagi proszę pisać na PW.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozpad promieniotwórczy - wyprowadzenie wzorów  Wasilewski  0
 Metoda gaussa w rownaniach liniowych  dakwh  0
 Układ równań metodą Gaussa - zadanie 10  Melquiades1  1
 Wyprowadzenie wz na pierwiastki n-tego stopnia l. zespolon  baski  0
 Metoda najmniejszych kwadratów - rozkład Gaussa  cqt  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl