szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 12:24 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Kraków
Witam, mój problem polega na tym, że nie potrafię rozwiązać dwóch równań z wartością bezwzględną. Problem leży w kwestii sposobu, które wcale nie rozumiem. Wpierw mam narysować na osi takie dziwne, nie wiem jak to nazwać, kontenery, później w środku mam wpisywać w zależności od przykładu -,-,+, to oczywiście przykład. Wiem, że jest to w celu zobrazowania przedziałów no i wyznaczenia ilości możliwych rozwiązań.

1. \sqrt{ x^{2} +6x+9} - |x-2|=x
2. |x-2| - |x-3| + |x| = 6

Szczerze mówiąc nie bardzo wiem nawet jak zacząć, w sensie jak będzie wyglądał ten wykres, czy on w ogóle jest potrzebny, skąd są te znaki i dlaczego każde możliwe rozwiązanie ma inną postać. Żeby była jasność, mnie chodzi o zrozumienie tych przykładów i tego sposobu, a nie o to, żebyście mi to rozwiązali i tyle. Mogę prosić kogoś o łopatologiczne rozwiązanie i krótkie wytłumaczenie ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 12:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
W pierwszym znajdź pod pierwiastkiem wzór skróconego mnożenia, skorzystaj z własności: \sqrt{a^2}=|a|. Następnie rozpatrz te równania w odpowiednich przedziałach. Odpowiedzią do każdego zadania jest suma rozwiązań z rozpatrywanych przedziałów.
Pozdrawiam ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 13:22 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Sosnowiec
1. nie wiem jak to zrobić wykresami, bo strasznie zabazgrane by było, ale można to rozwiązać w ten sposob:

\sqrt{ x^{2} +6x+9} - |x-2|=x

x^{2} + 6x + 9 można zwinąć we wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} , więc:

x^{2} +  6x + 9 = (x + 3)^{2}, w takim razie nasze równanie wygląda teraz tak:

\sqrt{ (x + 3)^{2} } - |x - 2| = x \\

jeśli pod pierwiastkiem drugiego stopnia mamy wyrażenie podniesione do kwadratu to możemy opuścić pierwiastek i potęgę, pamietając o tym, iż kwadratowane wyrażenie należy zapisać w modułach wartości bezwzględnej:

|x + 3| - |x - 2| = x

Teraz z definicji wartości bezwzględnej wiemy, ze wyrażenie w modułach moze być dodatnie, lub ujemne, trzeba więc rozpatrzyć 3 przypadki.

1) dla |x + 3| = (x + 3)   \wedge  |x - 2| = (x - 2) \\
(x + 3) - (x - 2) = x \\
x + 3 - x + 2 = x \\
x = 5 \\

2) dla |x + 3| = (x + 3)   \wedge  |x - 2| = -(x - 2) \\
(x + 3) - [- (x - 2)] = x \\
x + 3 + (x - 2) = x \\
x + 3 + x - 2 = x \\
2x - x = - 1 \\
x = - 1

3) dla|x + 3| = -(x + 3)   \wedge  |x - 2| = -(x - 2) \\
-(x + 3) - [-(x - 2)] = x \\
-x - 3 + x - 2 = x \\
x = -5 \\

W takim razie zbiorem rozwiązań tego równania jest x \in { -5; -1 ; 5 }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 13:35 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Kraków
Dzięki za powyższe odpowiedzi. Jednak muszę się w kilku kwestiach z wami skonsultować. Ten przykład z tym wzorem skróconego mnożenia zrobiłem. Wyszło mi tak jak u kolegi u góry, -5, -1 i 5, ale ten ułamek nie, bo wydawało mi się, że jak mamy przykład z dwoma wartościami bezwzględnymi to rozpatrujemy 3 przypadki, jak z trzema to 4 przypadki etc. Jak to jest ? No i do tego przykładu też jeszcze jedno pytanie, bo rozwiązałem je zważając na poprzednie przykłady z mojego zeszytu, ale nie rozumiem jednego.

1 przypadek
|x+3|  \le 0, wiec |x+3| = -(x+3) = -x-3
|x-2| < 0, wiec |x-2| = -(x-2) = -x+2

Dobra, to rozumiem, ale powiedzmy w drugim i trzecim przypadku już nie, dlaczego te znaki mniejszości, większości etc. się zmieniają ? W jaki sposób, już pokazuje.

|x+3| > 0, wiec |x+3| = |x+3|
|x-2|  \le 0, wiec |x-2| = -(x-2) = -x+2

Jak widać znaki się tutaj zmieniły, ale dlaczego ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 13:57 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Sosnowiec
no więc z definicji wartości bezwzględnej

|a| =  \begin{cases} a, dla  a  \ge 0 \\ -a, dla  a < 0 \end{cases}

więc te wyrażenia co masz można rozpisać jako

|x + 3| =  \begin{cases} x + 3, dla  x  \ge - 3 \\ -(x + 3), dla  x < - 3 \end{cases}

widzimy tu już, że występują 2 przypadki: kiedy x jest większy lub równy - 3 oraz kiedy jest mniejszy od - 3; następnie drugie wyrażenie:

|x - 2| =  \begin{cases} x - 2, dla  x  \ge 2 \\ - (x - 2), dla  x < 2 \end{cases}

tu też mamy dwa nowe przypadki, w takim razie w sumie występują 4 kombinacje dla różnych wartości x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Kraków
Sorka michas, ale w tej chwili nie kumam już nic, mimo, że przed chwilą myślałem, że kumam wystarczająco dużo. Sam zobacz. Twój post z wyjaśnieniem według mnie jest bardzo logiczny, rozumiem o co biega, ale moja książka od matematyki i pewna strona wszystko burzą. W książce, sprawdziłem i piszę, że rozwiązaniem jest -5, 5 i -1, czyli w porządku, tam nie piszą o rozwiązaniach nie spełniających się w równaniu, więc brak ułamka jest zrozumiały. Jednak już tutaj, przykład bardzo podobny, kwestia znaku i jednej liczby, mamy 3 sposoby, nie ma czwartego. Strona: http://matematyka.pisz.pl/strona/1796.html Mógłbym prosić o wypowiedź, bo szczerze mówiąc pogubiłem się ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 14:23 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Sosnowiec
oj oj, przepraszam, masz racje oczywiście, zapomniałem, żeby na początku sprawdzić przedziały.
bo w przypadku

3) x \in (- \infty , -3)   \cap  <2, +  \infty )

w związku z tym x należy do zbioru pustego, czyli przypadku 3 nie rozpatrujemy. w pozostałych x należy do jednego przedziału.

przepraszam, mój błąd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Kraków
W porządku, teraz rozumiem, dzięki wielkie za poświęcony czas, pomógł dla Ciebie rzecz jasna.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 lis 2009, o 00:01 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
mam pytanie do zapisu:
|x+3| \le 0, wiec |x+3| = -(x+3) = -x-3
|x-2| < 0, wiec |x-2| = -(x-2) = -x+2

Myślałam, że skoro na podstawie def. wartości bezwzględnej
|a| =  \begin{cases} a, dla  a  \ge 0 \\ -a, dla  a < 0 \end{cases}

tam gdzie dodajemy " − " to wówczas to co pod wartością bezwzględną ma być < 0 ,
a jest ≤ 0. Dlaczego?
Mi wychodzi że x należy od - nieskończoności do - 3 obustronnie otwarty.

-- 21 lis 2009, o 00:04 --

i to samo w tym przedziale:
|x+3| > 0, wiec |x+3| = |x+3|
|x-2|  \le 0, wiec |x-2| = -(x-2) = -x+2
Czemu tam gdzie dodajemy minus jest \le a nie tylko < ??
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania z wartością bezwzględną  matii  3
 Równania z wartością bezwzględną - zadanie 5  qwerrr  1
 Równania z wartością bezwzględną - zadanie 6  sylwusia0893  2
 równania z wartością bezwzględną - zadanie 7  Ankaaa993  1
 równania z wartością bezwzględną - zadanie 8  peter17  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl