szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 16:50 
Użytkownik

Posty: 95
Lokalizacja: Warszawa
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba \frac{n}{3} +  \frac{ n^{2} }{2} +  \frac{ n^{3} }{6} jest całkowita.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 17:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
\frac{n}{3} + \frac{ n^{2} }{2} + \frac{ n^{3} }{6} = \frac{2n+3n^2+n^3}{6} = \frac{n(2+3n+n^2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}
W liczniku mamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, jest więc podzielny przez sześć, tak więc zadana liczba jest całkowita.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 17:36 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Jelenia Góra
Althorion napisał(a):
\frac{n(n+1)(n+2)}{6}
W liczniku mamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, jest więc podzielny przez sześć, tak więc zadana liczba jest całkowita.

Owszem, jest podzielna przez 6, ale tego nie trzeba powiedzieć, tylko udowodnić. Więc:

1) Pokażemy, że suma dwóch kolejny liczb naturalny jest podzielna przez 2.

I. n=2k

2k \cdot (2k + 1) \equiv 0(mod2)

II. n=2k+1

(2k + 1) \cdot (2k + 2) = 4k ^{2} + 2k + 2k + 2 = 2(2k ^{2} + 2k + 1) \equiv 0(mod2)

2) Pokażemy, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 3.

I. n=3k

3k(3k + 1)(3k + 2) \equiv 0(mod3)

II. n=3k+1

(3k + 1)(3k + 2)(3k + 3) = 3(k + 1)(3k + 1)(3k + 2) \equiv 0(mod3)

III. n=3k+2

(3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) = 3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4) \equiv 0(mod)3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 18:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Cóż, uznałem to za fakt oczywisty. Ale jeśli dowód jest konieczny, to mogę zaproponować znacznie krótszy, nie korzystający z indukcji.

Teza:
Iloczyn n kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez n!.

Twierdzenie pomocnicze 1.:
Każdą liczbę naturalną można przedstawić jako kn + x, gdzie n, k i x są liczbami naturalnymi oraz x < n i n > 0.

Dowód twierdzenia pomocniczego 1.:
Zauważmy, że jeżeli liczba, którą chcemy osiągnąć jest wielokrotnością n, to x = 0 < n. Jeżeli zaś nie jest, to możemy podzielić z resztą. Zauważmy, że reszta nie może być większa bądź równa n, gdyż wtedy wystarczyłoby zwiększyć k o odp. wartość.

Dowód tezy:
Z twierdzenia pomocniczego 1. zauważamy, że możliwych reszt jest n, są one kolejnymi liczbami naturalnymi oraz najmniejsza z nich jest równa zero. Z zasady szufladkowej wiemy, że jeżeli mamy n lub mniej liczb naturalnych, to każda z reszt musi się pojawić przynajmniej raz, a co za tym idzie - musi się pojawić także reszta zerowa. Wniosek z tego, że liczba będąca iloczynem n liczb naturalnych jest podzielna przez każdą liczbę nie większą od n, tak więc jest podzielna przez n(n-1)(n-2)...1 = n!.
qed
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl