szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Ruda Ślaska
1.Uzasadnij że liczba 3 ^{n+2} +3 ^{n} jest podzielna przez 10 dla każdej liczby naturalnej n

2.Z liczby dwucyfrowej a utworzono dwie liczby: pierwszą przez dopisanie cyfry 1 na początku, drugą przez dopisanie cyfry 1 na końcu. Uzasadnij, że iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbę a jest podzielny przez 10.

3.Reszty z dzielenia przez 5 liczb naturalnych a, b, c, d wynoszą odpowiednio: 1, 2, 3, 4. Wykaż, że suma: a+b+c+d jest liczbą podzielna przez 5.

Proszę o szybką odpowiedź!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 393
3^{n}*9+3^{n}=3^{n}*(9+1)=3^{n}*10
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 18:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Ad 1.:
3^{n+2}+3^n = 3^n(3^2 + 1) = 10 \cdot 3^n

Ad 2.:
Liczba przed dopisaniem - 10a + b
Liczba po dopisaniu z tyłu - 100a + 10b + 1
Liczba po dopisaniu z przodu - 100 + 10a + b
(100a + 10b + 1)(100 + 10a + b) - (10a + b) = 1000 a^2+200 a b+10010 a+10 b^2+1001 b+100 - 10a + b = 10 (100 a^2+20 a (b+50)+b (b+100)+10)

Ad 3.:
Wychodzi w pięć sekund z kongruencji. Miałeś już?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Ruda Ślaska
bardzo dawno. NIC z tego nie pamiętam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 18:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
a \equiv 1 \ (mod \ 5)\\ b \equiv 2 \ (mod \ 5)\\ c \equiv 3 \ (mod \ 5)\\ d \equiv 4 \ (mod \ 5)\\
a + b + c + d \equiv 1 + 2 + 3 + 4 \ (mod \ 5) \\
a + b + c + d \equiv 10 \ (mod \ 5) \\
a + b + c + d \equiv 0 \ (mod \ 5)
Coś takiego. Dowodu bez kongruencji nie umiem wymyślić na poczekaniu (gorączka mnie rozkłada).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2009, o 18:48 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Ruda Ślaska
ok.wielkie dzięki

-- 26 lis 2009, o 18:50 --

a mógłbyś dokładnie objaśnić te pierwsze? 3n i tak dalej
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lis 2009, o 14:39 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
Ja 3 rozwiązałabym tak:
a=5k+1
b=5l+2
c=5m+3
d=5n+4
5k+1+5l+2+5m+3+5n+4=5(k+l+m+n) +10
10 jest podzielne przez 5
Ale to takie rozwiązanie na poziomie gim. :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2009, o 16:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Pierwsze rozwiązanie?
Wyciągnąłem po prostu 3^n przed nawias, po czym zsumowałem to, co w nim było.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowody podzielności - zadanie 2  ajlofmath  1
 wykazanie podzielnośći wyrażenia przez 8  klawiatur  15
 Stosunek podzielności odcinka  kam51  5
 Zadania z podzielności liczb  shep4rd  2
 Udowadnianie podzielności - zadanie 2  malyxxl  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl