szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2006, o 12:32 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Kielce
Jak rozwiazac zadanie:
Znaleźć sume wewnątrz przedzialu zbieżności szeregu:

\sum_{n=1}^{+\infty}\quad \frac{3^{n}x^{n}}{5^{n}(n+1)}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 cze 2006, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: śląsk
Korzystając z twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda otrzymujemy, że promień zbieżności r=\frac{3}{5}, zaś przedział zbieżności\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right).
Oznaczmy: f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{3^n x^n}{5^n(n+1)} oraz s(x)=xf(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{3^nx^{n+1}}{5^n(n+1)} dla x\in\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right).
Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego otrzymujemy:
s'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{3^n(n+1)x^n}{5^n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^nx^n}{5^n}=\frac{\frac{3}{5}x}{1-\frac{3}{5}x} dla x\in\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right).
Całkując obustronnie otrzymujemy:
s(x)=-\frac{5}{3}\ln\left(1-\frac{3}{5}x\right)+\frac{5}{3}-x
Stąd
xf(x)=-\frac{5}{3}\ln\left(1-\frac{3}{5}x\right)+\frac{5}{3}-x
f(x)=-\frac{5}{3x}\ln\left(1-\frac{3}{5}x\right)+\frac{5}{3x}-1 dla x\in\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)-\left{0\right} oraz f(0)=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2006, o 17:24 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Kielce
A jak w takim razie policzyc sume takiego szeregu:
\bigsum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} + 3}{4^{n}}(x-2)^{n}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 cze 2006, o 21:29 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: śląsk
Hm... Próbowałabym, to zrobic tak.
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{4}
Stąd r=4, zaś przedział zbieżności x-2\in(-4,4),czyli x\in(-2,6).
Zapiszmy:
\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2+3}{4^n}}(x-2)^n=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{4^n}}(x-2)^n+\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{3}{4^n}}(x-2)^n
Niech
s_1(x)=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{4^n}}(x-2)^n
s_2(x)=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{3}{4^n}}(x-2)^n
Zajmijmy się s_2(x):
s_2(x)=3\bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{4^n}=3\cdot\frac{\frac{x-2}{4}}{1-\frac{x-2}{4}}=\frac{3(x-2)}{6-x} dla x\in(-2,6).
Teraz s_1(x):
s_1(x)=\frac{1}{x-2}\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{4^n}}(x-2)^{n-1} (3)
Oznaczmy: f(x)=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{4^n}}(x-2)^{n-1}

Korzystamy z twierdzenia o całkowaniu szeregu potegowego:
\int{f(x)dx}=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{4^n}}(x-2)^{n}
Zapiszmy: \int{f(x)dx}=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{4^n}}(x-2)^{n}=\frac{1}{x-2}\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{4^n}}(x-2)^{n-1} (2)
Oznaczmy: g(x)=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{4^n}}(x-2)^{n-1}.
Ponownie całkujemy:
\int{g(x)dx}=\bigsum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4^n}}(x-2)^{n}=\frac{\frac{x-2}{4}}{1-\frac{x-2}{4}}=\frac{x-2}{6-x} (1)

Teraz różniczkujemy stronami (1) (otrzymujemy g(x)) i podstawiamy do równania (2). Kolejnym krokiem jest zróżniczkowanie równania (2) (otrzymujemy f(x)) i wstawiamy do (3). Otrzymujemy s_2(x). Teraz wystarczy dodać s_1(x) i s_2(x) (rozumowanie dla x\in(-2,6)-\left{2\right}.ufff

Tak bym to zrobiła, ale gwarancji nie daję. ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Zbieżność jednostajna szeregu  kej.ef  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl