szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2009, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
Nie mogłem znaleźć tego zadania na matematyka.pl

"Wykazać, że iloczyn dowolnych kolejnych k liczb naturalnych jest podzielny przez k!"

Dziękuję z góry
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2009, o 21:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
rozważ symbol Newtona {n \choose k}= \frac{(n-k+1)(n-k+2)\cdot ... \cdot n}{k!}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2009, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
dzięki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2017, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 1392
Lokalizacja: Warszawa
A uzasadnienie nie odwołujące się do kombinatoryki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 00:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7900
Lokalizacja: Wrocław
Zobacz tutaj.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2017, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 1392
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki wielkie! Tylko coś mi nie pasuje w drugiej odpowiedzi, tam gdzie jest zagnieżdżona indukcja. Rozumiem to tak: chcemy pokazać, że dla każdych k,m\in\mathbb{N} zachodzi k!\mid m(m+1)\ldots(m+k-1).

Stosujemy indukcję po k. Dla k=1 jest OK.
Krok indukcyjny: dla każdego m chcemy pokazać, że jeśli k!\mid m(m+1)\ldots(m+k-1), to wówczas (k+1)!\mid m(m+1)\ldots(m+k).

W tym celu stosujemy indukcję po m. Dla m=0 to prawda: implikacja k!\mid0 \Rightarrow (k+1)!\mid0 jest spełniona.
Krok indukcyjny: Wiemy, że jeśli k!\mid m(m+1)\ldots(m+k-1), to wówczas (k+1)!\mid m(m+1)\ldots(m+k). Pytamy, czy wynika stąd, że jeśli k!\mid (m+1)\ldots(m+k), to (k+1)!\mid (m+1)\ldots(m+k+1).

Załóżmy więc, że k!\mid (m+1)\ldots(m+k). Mamy
(m+1)\ldots(m+k+1)=(k+1)(m+1)\ldots(m+k)+m(m+1)\ldots(m+k)

Pierwszy składnik jest podzielny przez (k+1)!. W drugim chcielibyśmy jakoś wykorzystać wewnętrzne założenie indukcyjne, aby przekonać się, że także dzieli się przez (k+1)!. Ale w jaki sposób zostało ono wykorzystane?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2017, o 22:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7900
Lokalizacja: Wrocław
Wprawdzie mam [ciach] mózgowe, ale wydaje mi się, że to łatwo wykończyć z tego:
Cytuj:
Wiemy, że jeśli k!\mid m(m+1)\ldots(m+k-1), to wówczas(k+1)!\mid m(m+1)\ldots(m+k)

ale może już sam się pogubiłem w tej zagnieżdżonej indukcji, wydawało mi się to prostsze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2017, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 1392
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, że to, co napisałem, nie wygląda za przyjemnie, ale napisy tamtego forumowicza są dla mnie zbyt lakoniczne i nieprzejrzyste. Dlatego dokładnie wszystko zapisałem, nie będąc przekonanym, czy dobrze to rozumiem. W każdym razie dzięki za odzew.

Majeskas napisał(a):
Załóżmy więc, że k!\mid (m+1)\ldots(m+k). Mamy
(m+1)\ldots(m+k+1)=(k+1)(m+1)\ldots(m+k)+m(m+1)\ldots(m+k)

Pierwszy składnik jest podzielny przez (k+1)!. W drugim chcielibyśmy jakoś wykorzystać wewnętrzne założenie indukcyjne, aby przekonać się, że także dzieli się przez (k+1)!.


Niech s=m(m+1)\ldots(m+k-1).

m(m+1)\ldots(m+k)=s(m+k).

Gdyby udało się uzyskać k!\mid s, to bylibyśmy w domu. Ale jak na razie wiadomo tylko, że k!\mid s(m+k). Jeśli teraz liczby k! i m+k są względnie pierwsze, to OK. Ale jeśli nie są, to z tego, że k!\mid s(m+k), nie ma jak wywnioskować, że k!\mid s.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile sposobow - wybor trzech liczb, aby suma byla parzysta  Anonymous  2
 ile jest liczb 2cyfr/3cyfr, 5cyfr o pocz 12, bez cyfr 4 i 5?  Anonymous  1
 Układanie liczb o różnych cyfrach podzielnych przez...  birdy1986  4
 Na ile sposobów... (suma 3 liczb rowna 11)  Anonymous  3
 losowanie cyfr - ile liczb mozna utworzyc?  Banan  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com