szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2009, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: LBL
Sprawdź podzielnośc liczb dla dowolnego n naturalnego przez 3?

A) n^3+2n
B) 7^{n}-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2009, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 480
Lokalizacja: Łódź
W czym dokładnie problem? Sprawdzmy za pomocą indukcji.

Rozpiszę pierwszy przykład:

dla n=1: 1+2=3 - jest podzielne przez 3

Zatem zakładamy że dla n jest spełnione, czyli: n^3+2n=3k i k \in Z
Sprawdzamy dla n+1

(n+1)^3+2(n+1)=3z

n^3+3n^2+3n+1+2n+2=3z

3k+3n^2+3n+3=3z

k+n^2+n+1=z

Zatem z \in Z, co kończy dowód.

Z drugim przykładem postępujesz analogicznie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2009, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 106
Można to zrobić jeszcze inaczej:
n ^{3}+2n=n(n ^{2}+2)
Jeżeli
3|n
sprawa jest jasna. W innym wypadku mamy n=3k+2 lub n=3k+1. Obydwie liczby podniesione do kwadratu dają resztę jeden i sprawa oczywista.
W drugim zauważ, że 7 ^{n}=(6+1) ^{n} i reszta jest już banalna:D
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 gru 2009, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: KRAKOW
7 ^{n}=(6+1) ^{n} coś mi się wydaje że ten zapis coś nie bardzo pauje ;/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2009, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 106
Prawdziwy jest, tego chyba nie muszę dowodzić. A dlaczego nie pasuje? Informuje, że reszta z dzielenia tej liczby przez 3 wynosi 1. A 1-1=0 Czyli spełniona podzielność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2009, o 21:22 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7463
Lokalizacja: Wrocław
Rozwijasz z dwumianu Newtona, choć można jeszcze łatwiej

7^n-1^n=(7-1)(\ldots)

gdzie drugi nawias jest całkowity bo to wielomian potęg siódemki i takich liczb w nawiasach, jedna nad drugą.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl