szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2010, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Wawa
Jak znaleźć wzór jawny na n-ty wyraz ciągu w takim oto przykładzie:



Pewien ochroniarz pobrał za ochronę restauracji za pierwszym razem 10 Euro. Za każdym następnym razem pobierał haracz stanowiący sumę podwojonego haraczu pobranego ostatnim razem i dodatkowych 5 Euro. Znajdź wzór jawny na h_{n}- haracz w Euro pobrany za n-tym razem.



I teraz pytanie: mogę się tylko domyślać że wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać:
a_{n}=2 \cdot a_{n-2}+5. Tylko jak ten wzór przerobić na równanie charakterystyczne i czy ten wzór na n-ty wyraz ciągu jest prawidłowy?



Jeśli komuś się przyda, to na dole zamieszczam podobne zadanie z gotowym rozwiązaniem.



W pewnym państwie cena bananów w momencie wstąpienia do UE wynosiła 1 euro, a w miesiąc po wstąpieniu wynosiła 2 euro. W każdym następnym miesiącu cena bananów była ustalana jako różnica pomiędzy potrojoną ceną bananów z poprzedniego miesiąca i podwojoną ceną bananów sprzed dwóch miesięcy. Znajdź wzór jawny na b_{n} cenę bananów (w euro) w n miesięcy po wstąpieniu do UE.

Ustalamy wartości początkowe b_{0}=1 b_{1}=2


Przewidujemy zależność rekurencyjną na wartość b_{n}:


b_{n}=3b_{n-1}-2b_{n-2} gdzie wzór ogólny b_{n}=Ab_{n-1}+Bb_{n-2}


Ustalamy równanie charakterystyczne x^2=Ax+B skąd: x^2=3x-2


Obliczamy pierwiastki równania: \alpha_{1}= \frac{3+1}{2}=2 ; \alpha_{2}=\frac{3-1}{2}=1


Otrzymujemy wzór na n-ty wyraz ciągu z uwzględnieniem wartości pierwiastków \alpha_{1} \alpha_{2}:


b_{n}=c \cdot 2^{n}+d \cdot 1^{n}

Dla n=0; b_{0}=1:

c+d=1; d=1-c

Dla n=1; b_{1}=1:

2c+1-c=2; c=1; d=1-1=0

Stąd ostateczny wzór na n-ty wyraz ciągu:


b_{n}=c \cdot \alpha_{1}^{n}+d \cdot  \alpha_{2}^{n}=1 \cdot 2^{n}+0 \cdot 1^{n}=2^{n}

Pozdrawiam i liczę na odpowiedzi.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2010, o 22:11 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
Twój wzór na górze nie jest jednorodny. Jeśli chcesz wykorzystać r. charakterystyczne musisz pozbyć się stałej. Np. przez podstawienie

b_n=a_n-5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2010, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Wawa
Ale samo równanie które ułożyłem jest poprawne?

No dobrze, i jeśli jest nawet poprawne to jakie jest dalsze postępowanie w obliczeniach? Robimy je tak samo jak w tym przykładzie który rozwiązałem, czy wprowadzamy jakieś zmiany do samego toku obliczeń?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2010, o 23:43 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
Jest ok, postępujesz tak samo, na samym końcu wracasz do podstawienia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2010, o 00:12 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Wawa
A możesz mi rozwinąć chociaż początek tych obliczeń? Byłbym bardzo wdzięczny, bo ciężko mi jest to zrobić jak nie mam przed sobą jakiegoś podobnego przykładu :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2010, o 13:28 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
ok, ale już przecież to robiłeś sam :-p

b_n=a_n-5
podstawiamy i dostajemy
b_{n}=2 \cdot b_{n-2}

Można (chociaż nie trzeba) tutaj skorzystać z r. charakterystycznych dostając równanie
x^2=2
i postępując identycznie jak w poprzednim przykładzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.  rafal_85  19
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 doporowadz do najprostrzej postaci i podaj zalozenia  yossarian  1
 korzystając z indukcji mat. udowodnij Pn = n!  nelik1987  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl