szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 14:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 436
Lokalizacja: Wrocław
Mam takie oto zadania:

1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n wyrażenie postaci (n^3-n)(n^2-4) jest wielokrotnością liczby 60.

No i rozbijam to na:
(n^3-n)(n^2-4)= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

Wcale nie działa to dla każdego n - podstawmy sobie 1 lub 2 - powstała liczba - czyli zero, nie jest wielokrotnością 60. Ale porzucam te dwa przypadki. Czy mój dowod jest wystarczający?:

60 = 4 \cdot 3 \cdot 5

Wśród 5 kolejnych liczb muszą być przyjmniej dwie podzielne przez 2, przynajmniej jedna podzielna przez 3 i przynajmniej jedna podzielna przez 5.

2. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba 3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n jest podzielna przez 10.

3. Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n liczba n^3+3n^2-n-3 jest podzielna przez 48.

4. Dla jakich liczb naturalnych ułamek \frac{n^3+n^2+2}{n-1} jest liczbą całkowitą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 441
Lokalizacja: Bieszczady
0 jest wielokrotnością liczby 60 .Do twojego dowodu dopisałbym, że :zatem iloczyn 5 kolejnych liczb dzieli się na 60 więc ten iloczyn jest wielokrotnością 60
W 2 zadaniu wystarczy wyciągnąć 10 przed nawias
W 3 za n podstawić 2k + 1
W 4 zapisać to wyrażenie w postaci (n^{2} + 2n + 2 + \frac{4}{n - 1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 15:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 436
Lokalizacja: Wrocław
3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n \cdot 3^2  + 3^n - 2^n \cdot 2^2- 2^n =3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n \cdot 10 -  2^n \cdot 5= 10(3^n - 2^{n-1})

Dobrze poczyniłem obliczenia? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 15:15 
Użytkownik

Posty: 441
Lokalizacja: Bieszczady
wygląda na dobrze
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 15:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 436
Lokalizacja: Wrocław
3.
n^3+3n^2-n-3= (n-1)(n+1)(n+3)

Podstawiam n=2k+1.

(n-1)(n+1)(n+3) = 2k(2k+2)(2k+4)=8k(k+1)(k+2)

48 = 8 \cdot 2 \cdot 3

Któraś z liczb - k, k+1, k+2, musi być podzielna przez 2 oraz któraś musi być podzielna przez 3, liczba 8k jest podzielna przez 8, czyli cała liczba jest podzielna przez 48.

Wystarczający dowód?

-- 4 lut 2010, o 15:27 --

Skąd w zadaniu 4 taka postać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 15:30 
Użytkownik

Posty: 441
Lokalizacja: Bieszczady
myślę że tak

-- 4 lut 2010, o 15:35 --

n^{3}+ n^{2}+2=( n^{2}+2n+2)(n-1)+4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 16:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 436
Lokalizacja: Wrocław
To dorzucę jeszcze jedno zadanko:

Udowodnij, że jeżeli liczby x i y są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych, to także liczby x^2, 2x i xy są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2010, o 18:39 
Użytkownik

Posty: 441
Lokalizacja: Bieszczady
wystarczy udowodnić że xy jest sumą kwadratów liczb całkowitych(wystarczy przyjąć w pierwszym x=y a w drugim y=1^{2}+ 1^{2})
więc jesli x=m^{2}+ n^{2}i y=k ^{2}+ l^{2}to xy =(mk-nl) ^{2}+ (mk+nl)^{2}

-- 4 lut 2010, o 18:45 --

pomylka xy =(mk-nl) ^{2}+ (ml+nk)^{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij brak podzielności przez 41  klaudiak  1
 Dowód podzielności - zadanie 18  Ruahyin  5
 Uzasadnienie podzielności wyrażenia przez 120.  Valiors  4
 Dowód podzielności przez 6  mech2015  8
 Uzasadnienie podzielności liczby przez 47  Rockefeller  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl