szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2010, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 269
Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
Mam taką równość:
f(x^2)=f(x)(x^2+x)
gdzie f(x):R \rightarrow R
Czy oznacza to, że funkcje f(x) są tylko i wyłącznie funkcjami wielomianowymi stopnia 2? Czy należy szukać jeszcze innych funkcji?
Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2011, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Krosno
Nie, to nie oznacza że funkcja jest wielomianowa, a tym bardziej stopnia 2-giego. Jedynym wielomianem spełniającym to równanie jest f(x) \equiv 0.

Ogólne rozwiązanie:
Podstawiając x := 1 oraz x := 0 mamy f(0) = f(1) = 0
zauważmy że f(-1) może wystąpić w równaniu tylko wtedy, gdy podstawimy x := -1, a wtedy dostajemy f(1) = 0; wniosek jest taki: jeśli pewna funkcja jest rozwiązaniem tego równania to rozwiązaniem jest też funkcja różniąca się wartością w -1.

Teraz możemy zauważyć, że jeśli ustalimy sobie wartość dla pewnego argumentu x_1 \not\in \left\{ -1;0;1\right\} to równanie pozwoli obliczyć wartości \ldots;  \pm \sqrt[4]{x_1}; \  \pm \sqrt{x_1}; \ -x ;\ \pm x^{2}; \ \pm x^{4}; \ \pm x^{8};\ldots. Własność ta dzieli nam zbiór liczb rzeczywistych na podzbiory, które nazwiemy "rodzinami".
Przydałby się jeszcze sposób nazywania rodzin, żebyśmy mogli je rozróżnić. Tu przydaje się ciekawa własność rodzin: każda z nich ma dokładnie jeden element w zbiorze \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2}  \right] \cup \left[2;4 \right) (oczywiście poza rodzinami {-1,1} oraz {0}) więc będziemy je określać za pomocą tego właśnie elementu.

Teraz pora znaleźć f(x) dla x należącego do rodziny \alpha.
Indukcyjnie dowodzimy f\left(\alpha^{2^{k}}\right) = f(\alpha)\cdot\frac{\alpha^{2^{k}}\cdot\left(\alpha^{2^{k}}-1\right)}{\alpha\cdot(\alpha-1)}\quad k \in \mathbb{Z}, osobno dla dodatnich i ujemnych k (dla dodatnich argumentów, bo \alpha>0)
Następnie zauważamy f(-a) = \frac{f\left(a^{2}\right)}{a^{2}-a} = f(a)\cdot\frac{a^{2}+a}{a^{2}-a} = f(a)\cdot\frac{a+1}{a-1}
więc mamy f\left(-\alpha^{2^{k}}\right) = f(\alpha)\cdot\frac{\alpha^{2^{k}}\cdot\left(\alpha^{2^{k}}+1\right)}{\alpha\cdot(\alpha-1)}\quad k \in \mathbb{Z}

teraz wystarczy, że dla każdej rodziny przypiszemy f(\alpha), możemy to zrobić na tyle sposobów ile jest funkcji g(\alpha): \ \{-1\} \cup \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2}  \right] \cup \left[2;4 \right) \longrightarrow \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}
każda taka funkcja g definiuje nam funkcję f. g tak naprawdę jest funkcją f po ograniczeniu dziedziny, bo f(x)=g(x)

Możliwych funkcji jest nieskończenie wiele ( i to nawet bardzo nieskończenie ).

Zastanawiam się czy może nie pominąłeś założenia o ciągłości, chociaż z tego co mi się wydaje do ciągłości f wystarcza żeby g było ciągłe oraz \lim_{x\to4}g(x) = f(4) = 6\cdotf(2), ale nie potrafię tego ściśle udowodnić

-- 22 kwi 2011, o 11:34 --

Muszę się poprawić: funkcja wielomianowa może spełniać to równanie i wtedy faktycznie będzie to wielomian stopnia drugiego, bo jeśli f(x) jest stopnia k \neq 0 to lewa strona jest stopnia 2k a prawa k+2 czyli k=2
no i podstawiając f(x)=ax^{2}+bx+c
ax^{4}+bx^{2}+c=ax^4+(a+b)x^{3}+(b+c)x^{2}+cx
z tw o równości wielomianów:
a+b=0; \quad b+c=b; \quad c=0
więc mamy f(x)=ax^{2}-ax
i taki wielomian spełnia wyjściowe równanie dla każdego a
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie funkcyjne - zadanie 2  przemk20  6
 równanie funkcyjne - zadanie 4  MatizMac  6
 Równanie funkcyjne - zadanie 8  patry93  5
 Równanie funkcyjne - zadanie 9  rectussss  5
 równanie funkcyjne - zadanie 13  binaj  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl