szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2006, o 17:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 68
Lokalizacja: 3 - City
1. Wykaz ze liczba 2 * 9^{100} - 9^{99} - 9^{98} jest podzielna prze 19 .
2. Wykaz ze kazda liczba postaci (10^{n} +2 )^{2} jest podzielna przez 9 . ( n- nalezy do liczb naturalnych dodatnich)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2006, o 17:32 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
1. 2 \cdot 9^{100} - 9^{99}-9^{98}=2 \cdot 9^2 \cdot 9^{98} -9 \cdot 9^{98} - 9^{98}=162 \cdot 9^{98} -10 \cdot 9^{98}=152 \cdot 9^{98}=19 \cdot 8 \cdot 9^{98}
2. Wystarczy pokazać, że 3 dzieli 10^n +2 a to można zrobić np. indukcyjnie, albo korzystając z kongruencji. Można też słownie: liczba 10^n składa się w zapisie dziesiętnym z jednej cyfry jedności i samych zer, więc liczba 10^n +2 będzie w zapisie dziedziętnym posiadać jedną jedynkę, zera i cyfrę dwa, więc suma cyfr tej liczby to 1+2=3, więc rzeczywiście liczba 10^n +2 jest podzielna przez 3, czyli (10^n +2)^2 jest podzielna przez 9.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2006, o 18:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 68
Lokalizacja: 3 - City
1.Jak do konca sprawdzic czy jest podzielna?
2.A w jaki sposob zrobic to indukcyjnie , lub za pomoca kongruencji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2006, o 18:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
1. A co to znaczy, że dana liczba jest podzielna przez 19? To oznacza, że jest całkowitą wielokrotnością liczby 19, czyli da się zapisać jako 19k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Przekształciłem więc podaną liczbę do postaci, w której widac, że jest ona wielokrotnością liczby 19. W końcu 2 \cdot 9^{100} - 9^{99}-9^{98}=19 \cdot 8 \cdot 9^{98}, widać więc, że w iloczynie występuje ta liczba 19.
2. A czy wiesz czym jest indukcja matematyczna bądź kongruencje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2006, o 20:26 
Gość Specjalny

Posty: 1329
Lokalizacja: Suchedniów
2. Z kongruencji:

10 \equiv 1 \pmod 3,
10^n \equiv 1 \pmod 3, stad 10^n + 2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3, czyli 3|10^n+2, skad 9|(10^n+2)^2.

Jezeli indukcyjnie, to:
Wystarczy pokazac, ze 3|10^n+2. Zauwazmy, ze 10^1+2 = 12, czyli twierdzenie jest prawdziwe dla n=1. Zalozmy teraz, ze zachodzi 3|10^n+2. Teraz 10^{n+1}+2 = 10\cdot 10^n +2 = 9 \cdot 10^n + 10^n +2. Pierwszy wyraz jest oczywiscie podzielny przez 3, a nastepne 2 sa podzielne przez 3 z zalozenia indukcyjnego. Na mocy zasady indukcji matematycznej dowodzi to prawdziwosci twierdzenia dla dowolnego n\in\mathbb{N}. Voila! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 cecha podzielności liczby 24  Wrangler  5
 Wykazanie podzielności przez 6  kamio_17  4
 Wykazywanie podzielności  Christofanow  5
 Dowód podzielności - zadanie 21  duszan1  1
 Dowód podzielności - zadanie 9  kam51  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl