szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2006, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Łódź
Ile jest liczb całkowitych między 1 a 1000, które nie są podzielne przez 3, 5, 7?

pozdrawiam
PRzemek
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2006, o 00:39 
Gość Specjalny

Posty: 1330
Lokalizacja: Suchedniów
Hmm, niech

A - zbior liczb calkowitych miedzy 1 a 1000 podzielnych przez 3
B - zbior liczb calkowitych miedzy 1 a 1000 podzielnych przez 5
C - zbior liczb calkowitych miedzy 1 a 1000 podzielnych przez 7
X = {1,2,...,1000}.
Oznaczmy n(A) - liczba elementow zbioru A.
Latwo sprawdzic (to szczegolny przypadek wzoru wlaczen i wylaczen), ze

n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) - n(A\cap B) + n(C) - n(A\cap C) - n(B\cap C) - n(A \cap B \cap C).

Mamy policzyc ile jest liczb takich, ktorych nie dzieli ani 3, ani 5, ani 7, czyli innymi slowy moc zbioru (X-A)\cap (X-B) \cap (X-C) = X-(A \cup B \cup C), czyli 1000 - n(A\cup B\cup C).

No to liczymy:

Do zbioru A naleza liczby:
3 = 1\cdot 3, 2\cdot 3, \ldots, 333 \cdot 3 = 999
wiec n(A) = 333.

Do zbioru B naleza liczby:
5 = 1\cdot 5, 2\cdot 5, \ldots, 200\cdot 5 = 1000
wiec n(B) = 200.

Do zbioru C naleza liczby:
7 = 1\cdot 7, 2\cdot 7, \ldots, 142\cdot 7 = 994
wiec n(C) = 142.

Do zbioru A\cap B naleza liczby podzielne przez 3 i przez 5, a wiec podzielne przez 15:
15 = 1\cdot 15, 2\cdot 15, \ldots, 66\cdot 15 = 990
n(A\cap B) = 66.

Do zbioru A\cap C naleza liczby podzielne przez 21:
21 = 1\cdot 21, 2\cdot 21, \ldots, 47\cdot 21 = 987
n(A\cap C) = 47.

Do zbioru B \cap C naleza liczby podzielne przez 5*7=35:
35 = 1\cdot 35, 2\cdot 35, \ldots, 28\cdot 35 = 980
n(B\cap C) = 28.

Do zbioru A\cap B \cap C naleza liczby podzielne przez 105:
105 = 1\cdot 105, 2\cdot 105, \ldots, 9\cdot 105 = 945
n(A\cap B\cap C)=9.

Uff, ostatecznie:
n(A\cup B\cup C) = 333 + 200 - 66 + 142 - 47 - 28 - 9 = 525, skad szukana liczba to 1000-525 = 475.

O ile nie pomylilem sie nigdzie po drodze ;)
EDIT -> napisalo mi sie n(B) zamiast n(C), juz poprawilem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2006, o 00:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Aby zobrazować sytuację, zastanówmy się ile jest takich liczb pomiędzy 1 a 30. 30:3 jest 10, 30:5 jest 6 oraz 30:7 jest 3, można więc wnioskować, że liczb niepodzielnych przez 30 jest 30-(10+6+3)=30-19=11. Jednak łatwo policzyć, że liczb tych jest w rzeczywistości 13. Gdzie zgubiły nam się dwie liczby? Otóż pomiędzy 1 a 30 występują dwie liczby podzielne przez 3 i 5 tj. 15 i 30, więc możemy policzyć je tylko raz, a myśmy zrobili to podwójnie.
Dlatego też liczb pomiędzy 1 a 1000 niepodzielnych przez 3,5 i 7 jest 1000-(333+200+142)+(66+47+28+9)=475.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 19:09 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
Wiem, że mega odkop ale wynik jest błędny.
Zamiast-(A\cup B\cup C) powinno być +(A\cup B\cup C)
Policzone na "pieszo" http://ideone.com/OZW0AB wynik 457 a nie 475
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2016, o 01:58 
Gość Specjalny

Posty: 1330
Lokalizacja: Suchedniów
Tak, pomyliłem znak 10 lat temu. Dziękuję:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2016, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Pomorskie
A może ktoś wytłumaczyć dlaczego powinno być +(A\cap B\cap C)?
Dlaczego nie odejmujemy powtórzeń?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 10 mar 2016, o 00:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Ależ odejmujemy powtórzenia, tylko że odejmując
n(A \cap B), n(A \cap C) oraz n( B\cap C), niektóre z nich odjęliśmy dwa razy (konkretnie te, które są elementami zarówno A \cap B, jak i A \cap C, etc. a więc elementami A\cap B \cap C), więc potem musimy dodać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 Ile sposobow - wybor trzech liczb, aby suma byla parzysta  Anonymous  2
 ile jest liczb 2cyfr/3cyfr, 5cyfr o pocz 12, bez cyfr 4 i 5?  Anonymous  1
 Układanie liczb o różnych cyfrach podzielnych przez...  birdy1986  4
 Na ile sposobów... (suma 3 liczb rowna 11)  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl