szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2010, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 96
Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 24, a miara kąta wewnętrznego zawartego między nimi wynosi π/3. Wyznacz najmniejszą wartość obwodu tego trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2010, o 23:32 
Użytkownik

Posty: 128
Lokalizacja: Wrocław
Należy tutaj zastosować twierdzenie kosinusów....
Niech a, \ b, \ c będą długościami boków tego trójkąta i kąt \alpha = \frac{\pi}{3} zawarty między bokami a \ i b oraz a+b = 24
Z twierdzenia kosinusów mamy: c^2 = a^2+b^2-2ab\cos  \alpha = a^2+b^2-2ab\cos\frac{\pi}{3}=a^2+b^2-2ab\cdot\frac{1}{2}=a^2+b^2-ab
\begin{cases} a+b = 24\\ c^2 =a^2+b^2-ab \end{cases}
\begin{cases} b = 24-a\\ c = \sqrt{a^2+b^2-ab}  \end{cases}
\begin{cases} b = 24-a\\ c = \sqrt{a^2+(24-a)^2-a(24-a)}  \end{cases}
\begin{cases} b = 24-a\\ c = \sqrt{3a^2-72a+576}  \end{cases}
Dla jakiego a pierwiastek: \sqrt{3a^2-72a+576} jest najmniejszy????
Taki pierwiastek jest najmniejszy z możliwych wtedy, gdy liczna pod pierwiastkiem jest najmniejsza...
Zauważmy pod pierwiastkiem mamy trójmian kwadratowy, którego wykres to parabola z ramionami do góry, a zatem najmniejsza wartość tego wyrażenia to wierzchołek tej paraboli czyli: a= \frac{-(-72)}{6} =12
Stąd otrzymujemy:
\begin{cases}a=12 \\b=24-a=24-12=12 \\ c = \sqrt{3a^2-72a+576}= \sqrt{144}=  12\end{cases}
Czyli mamy trójkąt równoboczny.... O = a+b+c = 3a =36
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2011, o 11:04 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: ad
nie prościej zastosowac wzór na pole trójkąta P=1/2 *a*b*sin60, i obliczyć wierzchołek paraboli? :|

-- 16 kwi 2011, o 12:19 --

a nie, zle przeycztalem treść zadania :>
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl