szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2010, o 00:01 
Użytkownik

Posty: 64
Witam ;)
Założenie:
\sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{ \sqrt{k} }  > 2(\sqrt{n+1}-1)

\sum_{k=1}^{n+1}  \frac{1}{ \sqrt{k} }  > 2(\sqrt{n+2}-1)
Dowód:
\sum_{k=1}^{n+1}  \frac{1}{ \sqrt{k} } = \sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{ \sqrt{k} } + \frac{1}{ \sqrt{n+1}} > 2(\sqrt{n+1}-1) + \frac{1}{\sqrt{n+1}}

Kombinowałem, ale nie wiem co dalej, nie mogę doprowadzić do postaci, w której byłoby widać wyraźnie tę nierówność ;)

Proszę o jakieś wskazówki ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2010, o 00:37 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
W celu dokończenia dowodu wystarczy pokazać, że
2(\sqrt{n+1}-1) + \frac{1}{\sqrt{n+1}}>2(\sqrt{n+2}-1)
2\sqrt{n+1}+ \frac{1}{\sqrt{n+1}}>2\sqrt{n+2}
Dla liczb naturalnych ta nierówność jest równoważna nierównościom:
2(n+1)+1>2\sqrt{(n+1)(n+2)}
(2n+3)^{2}>4(n+1)(n+2)
4n^{2}+12n+9>4n^{2}+12n+8
1>0,
zaś ta ostatnia nierówność jest prawdziwa dla n\in N.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2010, o 02:06 
Użytkownik

Posty: 64
Faktycznie, dziękuję ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 indukcja matematyczna-nierówność  Qasi  5
 Nierówność-indukcja-jak?  Kaszim  6
 nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometry  ville-dor  2
 indukcja-wykazac nierownosc  panterman  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl