szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 19:23 
Użytkownik

Posty: 529
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = ... = 3(n+1)(n^2+2n+3)

Tylko do tego udało mi się dojść. Co dalej? I czy to w ogóle jest dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 246
Lokalizacja: Warszawa
W ostatnim nawiasie można wyłączyć 3:
3(n+1)(n^2+2n+3)=3n(n+1)(n+2)+3 \cdot 3(n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 19:48 
Użytkownik

Posty: 529
No niby tak, ale dalej nie widać wprost by była to liczba podzielna przez 9. Wprawdzie w tym pierwszym członie mamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, ale tylko tyle widzę.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 81
Lokalizacja: Łódź
w drugim członie masz 9 razy coś więc na pewno jest podzielne przez 9, a w pierwszym masz razy 3 i do tego 3 kolejne liczby naturalne z których zawsze jedna jest podzielna przez 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 529
No właśnie ale z czego to wynika? Da się to jakoś udowodnić na poziomie liceum?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 81
Lokalizacja: Łódź
ale co?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 529
To że 3n(n+1)(n+2) jest podzielne przez 9 (lub n(n+1)(n+2) przez 3)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 81
Lokalizacja: Łódź
jeśli chodzi o uzasadnienie formalne to nie jest potrzebne, bo to jest oczywiste, a jeśli chcesz tak dla siebie to wybierz sobie dowolne 3 kolejne liczby, np

1,2,3 trzecia z nich jest podzielna przez 3

2,3,4 druga jest podzielna przez 3

3,4,5 pierwsza jest podzielna przez 3

4,5,6 teraz znowu trzecia jest podzielna i to idzie tak w kółko

-- 26 lut 2010, o 20:15 --

albo inaczej

zapisz kolejne liczby zaczynając od takiej podzielnej przez 3

3x, \\
3x+1, \\
3x+2, \\
3x+3=3(x+1),\\
3x+4,\\
3x+5,\\
3x+6=3(x+2),\\
3x+7,
itd

i w jakikolwiek sposób nie wybierzesz z nich 3 kolejnych to zawsze jedna będzie podzielna przez 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2010, o 12:49 
Użytkownik

Posty: 246
Lokalizacja: Warszawa
Są trzy kolejne liczby naturalne, z dzielenia przez 3 muszą dawać różne reszty (gdyby dla dowolnych dwóch liczb były jednakowe to ich różnica byłaby podzielna przez 3, a w tym przypadku różnica wynosi 1 lub 2). Możliwe reszty z dzielenia przez 3 to 0, 1 lub 2 (trzy liczby), tak więc któraś z trzech liczb na pewno dzieli się przez 3.
Tak więc pierwszy składnik dzieli się przez 9 i drugi także, a suma dwóch liczb podzielnych przez daną liczbę także się przez tą liczbę dzieli - wystarczy wyciągnąć ją przed nawias:
n \cdot (n+1) \cdot (n+2)+3 \cdot 3 \cdot (n+1)=9 \cdot k+9 \cdot (n+1)=9 \cdot (k+n-1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2010, o 13:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
1. Lepszym wyjściem jest (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 Przy n \ge 2 (dla n=1 też pasuje zresztą) Więcej się skraca
2. Jesli nie daje się sprowadzić do wyrażenia 9 \cdot k (gdzie k całkowite) to dowód formalny jednak wymaga zastosowania indukcji matematycznej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2010, o 13:25 
Użytkownik

Posty: 529
A jak zrobić z indukcji matematycznej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2010, o 13:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Musisz udowodnić indukcyjnie że:
"Dla każdego n \ge 1 istnieje k całkowite takie że: 3n^3 +6n = 9k"
Wyrażenie to powstało z rozwinięcia sumy zaproponowanej przeze mnie jeden wpis wcześniej i skrócenia wyrazów podobnych.

Zależy czy miałeś indukcję matematyczną czy nie. Jeśli nie to...mhm...dobrze by było bys wpierw poczytał o tym i przeanalizował przykłady, których pełno w sieci (i na tym forum również zresztą)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2014, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Poznań
Proszę o bardziej łopatologiczne rozpisanie przekształceń z postów #1 i #2.

PS do moderatorów: wątek wyszedł mi z google, przepraszam za odkopanie, ale... to najsensowniejszy wątek z tym zadaniem w całej sieci, jak się okazuje, jedyne co, to sugerowałbym zmianę jego tytułu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2015, o 07:38 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Zamość
Najprostszym zapisem jest 3n-1, 3n, 3n+1. Mamy załatwione wszystkie liczby naturalne od 2, bo wszystko z rozwinięcia jest podzielne przez 9. Sprawdzamy tylko dla 1, 2, 3 i koniec. Cud.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl