szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Poznań
Mam problem z takim zadaniem:

Wykaż, że: \bigwedge\limits_{n\in N^{+}} \left(n^{5}-n \right) / 30

Rozwiązuję w ten sposób:

1. sprawdzamy czy twierdzenie zachodzi dla n=1
1-1 / 30
0/30
czyli zachodzi bo 0 dzieli się przez 30

2. udowadniam własność dziedziczną
Założenie
\left(n^{5}-n \right) / 30
Teza
\left[ \left(n+1 \right)^{5} -  \left(n+1 \right)   \right] / 30
Dowód
n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1-n-1 =

n^{5}-n +5n^{4}+10n^{3} + 10n^{2}+5n=

n^{5}-n+5n \left(n^{3}+2n^{2}+2n+1 \right) =

n^{5}-n+5n \left(n^{3}+1+2n^{2}+2n \right) =

n^{5}-n+5n \left[ \left(n+1 \right) \left(n^{2}-n+1 \right)+2n \left(n+1 \right)    \right]=

n^{5}-n+5n \left(n+1 \right) \left[ \left(n^{2}-n+1 \right)+2n  \right]=

n^{5}-n+5n\left(n+1 \right) \left(n^{2}+n+1 \right)

Aby liczba była podzielna przez 30 należy udowodnić jej podzielność przez 2, 3 i 5.
Pierwszy składnik w sumie tj. n^{5}-n jest podzielny przez 30 z założenia. Drugi składnik to iloczyn, dzieli się przez 5 bo jeden z czynników wynosi 5, dzieli się przez 2 bo mamy iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych (n \left(n+1 \right))z których na pewno jedna dzieli się przez 2, no i tyle wiem, nie wiem natomiast jak udowodnić podzielność tego iloczynu przez 3. Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 1368
n^2+n+1=(n+2)^2-3(n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2010, o 21:43 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Możesz rozważyć po prostu trzy przypadki:
1. jeśli n=3k,k\in Z, to oczywiście ten drugi składnik dzieli się przez 3 (bo jest postaci 3k(n+1)(n^{2}+n+1))
2. jeśli n=3k-1,k\in Z, to ten drugi składnik dzieli się przez 3 (bo jest postaci n \cdot 3k(n^{2}+n+1)
3. jeśli n=3k+1,k\in Z, to ten drugi składnik dzieli się przez 3 (bo jest postaci n(n+1)((3k+1)^{2}+(3k+1)+1), czyli n(n+1)(9k^{2}+9k+3))

(w ten sposób uwzględniasz wszystkie możliwe reszty z dzielenia n przez 3, czyli wszystkie możliwe wartości n)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2010, o 00:11 
Użytkownik

Posty: 52
Można też inaczej.

30|n^5-n \Leftrightarrow 2|n^5-n  \wedge 3|n^5-n  \wedge 5|n^5-n

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

Wyrażenie n(n-1)(n+1)(n^2+1) dzieli się przez 2 i przez 3, bo jest to iloczy dwóch i trzech kolejnych liczb naturalnych. Z kolei podzielność przez 5 wykazałeś już indukcyjnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód indukcyjny dot. liczb pierwszych  Pastor  1
 Nierówność indukcja matematyczna  Wolfik  1
 indukcja wlasnosci ciagu Fibonacciego  wiedzma  0
 Dowód nierówności - zadanie 5  RyHoO16  3
 Indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 3  Fajken  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl