szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 mar 2010, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kraków
Jestem tu od dziś i nie bardzo sobie radzę, więc może zadanie które dodałam poprzednio (niestety źle) dodam jeszcze raz tym razem w pełnej formie:

Zbadaj liczbę rozwiązań równania \left|\frac{-4x-6}{x+1} \right| =m ze względu na wartość parametru m, m \in R.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2010, o 23:32 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Narysuj wykres funkcji:
f(x)=\left|\frac{-4x-6}{x+1} \right|=\left|\frac{-4(x+1)-2}{x+1} \right|=\left|\frac{-4(x+1)}{x+1}-\frac{2}{x+1} \right|=\left|\frac{-2}{x+1}-4 \right|
gdzie D_{f}= \mathbb{R}-\{-1\}.
Jest to funkcja y=-\frac{2}{x} przesunięta o wektor \vec{u}=[-1;-4] i przekształcona w taki sposób, że cześć wykresu znajdującego się pod osią Ox zostaje przeniesiona nad nią. Rozwiązania odczytujemy z wykresu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... %2B1%29%7C

-- 14 mar 2010, o 23:38 --

Mogliśmy skorzystać z multiplikatywności modułu:
\left|\frac{-4x-6}{x+1} \right|=\frac{|-4x-6|}{|x+1|}=\frac{|-1(4x+6)|}{|x+1|}=\frac{|-1|\cdot|4x+6|}{|x+1|}=\frac{|4x+6|}{|x+1|}=\left| \frac{4x+6}{x+1} \right|
byłoby nieco łatwiej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 mar 2010, o 23:40 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kraków
A nie ma możliwości rozwiązanie tego algebraicznie, bo rysunek miałam i odczytałam, ale zależy mi właśnie na liczbowym rozwiązaniu, bo kilkakrotnie próbowałam, ale bez rezultatu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2010, o 23:59 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Gdy m<0, równanie nie ma rozwiązań. Gdy m=0 - ma jedno rozwiązanie, gdy m>0 to możemy podnieść stronami do kwadratu i otrzymujemy:
\frac{(-4x-6)^{2}}{(x+1)^{2}} =m^{2}\\\frac{16x^{2}+48x+36}{x^{2}+2x+1}=m^{2}\\16x^{2}+48x+36=m^{2}x^{2}+2m^{2}x+m^{2}\\x^{2}(16-m^{2})+x(48-2m^{2})+36-m^{2}=0
Teraz, o ilości rozwiązań w zależności od paramteru m decyduje znak delty, ale najpierw zobaczmy co dzieje się gdy jest to równanie liniowe, czyli dla m=4 \vee m=-4:
16x+20=0 \Rightarrow x=-\frac{5}{4} Zatem równanie ma jedno rozwiązanie, gdy m=4.
Gdy równanie jest kwadratowe, czyli m \neq 4 to:
\Delta=(48-2m^{2})^{2}-4(16-m^{2})(36-m^{2})=2304-192m^{2}+4m^{4}-2304+208m^{2}-4m^{4}=16m^{2}>0
Stąd dla każdego m>0 i różnego od 4 ma dwa rozwiązania.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 mar 2010, o 00:07 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kraków
Bardzo dziękuję za to rozwiązanie, ale mógłbyś mi jeszcze wyjaśnić skąd wynika to, że na początku należy podnieść do kwadratu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2010, o 21:43 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Z niczego, to tylko taki mój wybór, a jego celem było pozbycie się modułu. Równie dobrze mogliśmy rozważyć dwa przypadki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje wymierne.  Anonymous  1
 Nierówności wymierne  Tama  2
 Równanie wymierne - zadanie 2  Monster  2
 Równanie wymierne i nierówność  Monster  2
 Równanie wymierne - zadanie 3  Tama  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl