szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2010, o 21:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 767
Lokalizacja: University of Warwick
Witam, mam takie zadanie:
Cytuj:
Wykaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to p^2 przy dzieleniu przez 24 daje resztę 1

Rozumiem, że trzeba pokazać, iż p^2 \equiv 1 \ (mod \ 24)

Wydaje mi się, że wystarczy pokazać, że p \equiv 1 \ (mod \ 8) i p \equiv -1 \ (mod \ 3)
(8 i 3 bo (8,3)=1)
\begin{cases} p \equiv 1 \ (mod \ 8) \ | \cdot 3 \\ p \equiv -1 \ (mod \ 3) \ | \cdot 8 \end{cases}
\begin{cases} 3p \equiv 3 \ (mod \ 24) \\ 8p \equiv -8 \ (mod \ 24) \end{cases}
po dodaniu stronami dostaję:
11p \equiv -5 \ (mod \ 24)
jest to prawda dla p=17, ale nie wiem czy to wystarczy. Rzuci ktoś okiem?

Dzięki i pozdrawiam
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 mar 2010, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 1278
Musisz pamiętać, czego dowodzisz i w końcu to osiągnąć. Jeśli chcesz, to zostań przy kongruencjach, ale ja bym wyszła od tego, że p jest nieparzysta i niepodzielna przez 3 - wtedy tezę można uzyskać dysponując wiedzą z gimnazjum.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2010, o 22:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 767
Lokalizacja: University of Warwick
Czyli rozumiem moje rozwiązanie jest prawidłowe? Oczywiście nie omieszkam zrobić tego też klasycznie. Chcę dokładnie zrozumieć te kongruencje, dlatego też jak pojawia się dzielenie z resztą w zadaniu to próbuję też tą drogą.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 mar 2010, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 1278
Nie jest prawidłowe, bo znalazłeś jedną p, a masz dowieść prawdziwości tezy dla wszystkich p>3.

Podpowiedź: Jakie reszty daje p>3 w dzieleniu przez 6?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2010, o 13:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 767
Lokalizacja: University of Warwick
Przepraszam, ale kompletnie zapomniałem o tym temacie :O.
bosa_Nike, reszty to naprzemiennie: 5 i 1. Jednak dalej nie wiem co mam z tym zrobić :/
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 kwi 2010, o 22:45 
Użytkownik

Posty: 1278
Masz p=6k\pm 1 podnieść do kwadratu i przedstawić tak, żeby było widać tezę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2010, o 09:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 767
Lokalizacja: University of Warwick
A mogę wiedzieć skąd pomysł, żeby badać reszty z dzielenia przez 6? Dlaczego 6 i jak na to wpadłaś? I co z tą drugą resztą: 5? Ona nie jest istotna?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2010, o 09:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
Bo to typowe postępowanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2010, o 09:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 767
Lokalizacja: University of Warwick
Mógłbyś napisać coś więcej?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 kwi 2010, o 11:03 
Użytkownik

Posty: 1278
Arst napisał(a):
[...] skąd pomysł, żeby badać reszty z dzielenia przez 6? [...]
bosa_Nike napisał(a):
[...] p jest nieparzysta i niepodzielna przez 3 [...]
Tzn. \begin{cases}p=1\pmod 2\\ p=\pm 1\pmod 3\end{cases}
Arst napisał(a):
[...] I co z tą drugą resztą: 5? [...]
bosa_Nike napisał(a):
[...] p=6k{\color{red}\pm} 1 [...]
Reszta 5 to jest to samo, co reszta -1 - łatwiej mi było zapisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2010, o 12:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 767
Lokalizacja: University of Warwick
Ok, czyli tak:
p^2=36k^2 \pm 12k+1=12k(3k \pm 1)+1
i potem 24|12k(3k \pm 1) \Rightarrow 2|k(3k \pm 1) \Rightarrow 2|k  \vee 2|(3k \pm 1)
dla k parzystego 2|k a dla k nieparzystego 2|(3k \pm 1), dobrze rozumuję?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 kwi 2010, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 1278
Dobrze. p^2=24k^2+12k(k\pm 1)+1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dzielenie pisemne  Nici  9
 Zapisywanie dzielenia z resztą, jaki błąd popełniam?  Xiaos  1
 Liczba 3cyfrowa o największej liczbie dzielników...  Beezqp  4
 Reszta z dzielenia liczby pierwszej...  Madzz  2
 wykazać że liczba jest podzielna przez 6  oemxuser  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl