szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2010, o 15:27 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Wykazać, że dla n \in N \wedge n\ge5 zachodzi nierówność:
2^n> n^2+n-1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 kwi 2010, o 16:11 
Użytkownik

Posty: 16254
Może tak:
2.
n=k
2^k> k^2+k-1


3.
n=k+1
2^{k+1}>  \left( k+1 \right) ^2+ \left( k+1 \right) -1
2^{k+1}-  \left( k+1 \right) ^2- \left( k+1 \right) +1>0
2^{k+1}-  \left( k+1 \right) ^2- \left( k+1 \right) +1=2 \cdot 2^k  - k^2 - 3k - 1>2 \left( k^2+k-1 \right)  - k^2 - 3k - 1= k^2  - k - 3= \left( k+ \frac{ 1+\sqrt{13} }{2}  \right)  \left( k- \frac{1- \sqrt{13} }{2}  \right)

Dla k \ge 5
\left( k+ \frac{ 1+\sqrt{13} }{2}  \right)  \left( k- \frac{1- \sqrt{13} }{2}  \right) >0
czyli
2^{k+1}>  \left( k+1 \right) ^2+ \left( k+1 \right) -1
?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2010, o 19:10 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
dziękuję, a jakieś inne pomysły?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2010, o 19:24 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
założenie...
2^n \cdot 2>2(N^2+n+1)=2n^2+2n+2>n^2+2n+1+n+1=(n+1)^2+(n+1)+1

Edit: źle przepisałem nierówność, przepisałem z plusem. Może zaraz wymyślę coś prostszego ;p
Edit 2: Qń uprzedził ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2010, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dla n\geq 5 mamy w szczególności n^2>n+3. Zatem w kroku indukcyjnym dostaniemy:
2^{n+1}=2\cdot 2^n >2(n^2+n-1)=n^2+2n-2+n^2> \\ >n^2+2n-2+n+3=n^2+3n+1=(n+1)^2+(n+1)-1

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić nierówność indukcyjnie  Barcelonczyk  1
 Udowodnić nierówność indukcyjnie - zadanie 2  Barcelonczyk  1
 Udowodnić nierówność indukcyjnie - zadanie 3  revers  2
 udowodnić nierówność indukcyjnie - zadanie 5  platynamen  4
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl