szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 kwi 2010, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Lublin
Witam. Mam problem z nast zadaniem


Udowodnij, że jeśli miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie 2, to między długościami boków zachodzi związek\frac{1}{a}= \frac{1}{b} + \frac{1}{c}, gdzie a oznacza długość najkrótszego boku.

Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2010, o 20:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1365
Lokalizacja: Katowice
Łatwo policzyć, że miary tego trójkąta mają miary \frac{1}{7} \pi , \frac{2}{7} \pi , \frac{4}{7} \pi

Rozważmy siedmiokąt foremny ABCDEFG o boku długości a. Niech proste AB i CD przecinają się w punkcie H.

Rozpisując kąty widzimy, że \angle DAC = \frac{1}{7} \pi , \angle CDA = \frac{2}{7} \pi , \angle ACD = \frac{4}{7} \pi , \angle AHC = \angle HCA = \frac{3}{7} \pi

Wobec tego a = AB = BC = CD, b = AC = AH, c = AD , BH = b-a

Trójkąty HBC i HAD są podobne, więc \frac{HB}{BC} = \frac {HA}{AD}  \Leftrightarrow \frac {b-a}{a} = \frac {b}{c}  \Leftrightarrow \frac {b}{a} = 1 + \frac{b}{c}  \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac {1}{c}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 kwi 2010, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 16230
\alpha,2a\lpa, 4\alpha - kąty trójkąta
4\alpha=180^o-3\alpha
Z twierdzenia sinusów
\frac{a}{sin\alpha}=2R \Rightarrow  \frac{1}{a} = \frac{1}{2Rsin\alpha}
\frac{b}{sin2\alpha}=2R \Rightarrow  \frac{1}{b} = \frac{1}{2Rsin2\alpha}
\frac{c}{sin4\alpha}=2R \Rightarrow  \frac{1}{c} = \frac{1}{2Rsin3\alpha}

\frac{1}{b} + \frac{1}{c}= \frac{1}{2Rsin2\alpha}+\frac{1}{2Rsin3\alpha}

\frac{1}{2Rsin2\alpha}+\frac{1}{2Rsin3\alpha}= \frac{1}{2Rsin\alpha}
Wystarczy udowodnić tożsamość:
\frac{1}{sin2\alpha}+\frac{1}{sin3\alpha}= \frac{1}{sin\alpha}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 kwi 2010, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Lublin
dziękuje serdecznie
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód z trójkątem rozwartokątnym  gibonek85  2
 Suma długości boków przyległych  rzmota  2
 Trzy proste równolegle do boków trójkąta. Udowodnij, że...  Natasha  1
 Długości boków w trójkącie - zadanie 3  Alebaa  1
 Zależność między promieniem opisanym i wpisanym  Sulik  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl