szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2006, o 17:25 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Rzeszów
udowodnij korzystając z kongruencji
21|2^{4^{n}}+5 :smile: Proszę o wytłumaczenie najdokładniej jak się tylko da, bo dopiero zaczynam swoją przygode z kongruencjami :smile:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2006, o 22:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Skoro 21=3 \cdot 7, to mamy pokazać, że dane wyrażenie dzieli się przez 3 i przez 7.
Pokażę wpierw, jak wykazać to pierwsze:
Oczywiście zachodzi 2^2 \equiv 1 ( mod\ 3). Podnieśmy to obustronnie do potęgi \frac{ 4^n }{2}. Ponieważ\frac{4^n}{2}=\frac{2^{2n}}{2}=2^{2n-1} jest liczbą naturalną, więc możemy tak zrobić. Otrzymujemy, że 2^{4^n}} \equiv 1 ( mod\ 3). Dodając stronami 5 dostajemy 2^{4^{n}} +5 \equiv 6 \equiv 0 ( mod\3).
Wykazaliśmy więc, że istotnie 3 | 2^{4^{n}}+5.
Aby pokazać, że 7 dzieli to wyrażenie zauważmy, że 4^n \equiv 1 ( mod\ 3).

Dowód indukcyjny:
1. Spr. dla n=1
4^1=4 \equiv 1  ( mod\ 3)
2. Zał. ind.: 4^k \equiv 1 ( mod\ 3)
Teza ind.: 4^{k+1} \equiv 1 ( mod\ 3)
D-d:
4^{k+1}=4^k \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4=4 \equiv 1 ( mod\ 3)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej własność ta prawdziwa jest dla każdej liczby naturalnej.

Wracając do naszej podzielności... Zauważmy, że 2^3 \equiv 1 ( mod\ 7). Potęgą dwójki jest 3, a ja chcę mieć w potędzie 4^n. Należy więc się zastanowić do czegóż to przystaje 4^n modulo 3. My już wcześniej wykazaliśmy, że przystaje do 1. Czyli innymi słowy 4^n=3 \cdot m +1.
Podnieśmy więc kongrunecję 2^3 \equiv 1 (mod\ 7) do potęgi m-tej stronami. Otrzymujemy, że 2^{3m} \equiv 1 ( mod\ 7). Pomnóżmy obustronnie przez 2^1. Mamy, że 2^{3m+1} \equiv  1 \cdot 2^1=2 ( mod\ 7). Ponieważ 4^n=3m +1 teraz już na pewno widać, że istotnie 2^{4^{n}} \equiv 2 ( mod\ 7). Dodając do tej kongruencji stronami 5, dostajemy, że 2^{4^{n}} \equiv 7 \equiv 0 ( mod\ 7).

Wykazaliśmy więc, że 3 | 2^{4^{n}} +5 oraz 7 | 2^{4^{n}}+5. Czyli rzeczywiście 21 | 2^{4^n}}+5 cbdw.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij podzielność przez 3.  allison  12
 udowodnij, ze liczba jest podzielna przez 4  Cecylia  1
 "Udowodnij"... Podzielność z niewiadomymi  NephilimV  4
 udowodnij, że liczba jest podzielna przez 240  WesolyPierozek  1
 Udowodnij podzielność przez 8  anonimka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl