szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 maja 2010, o 12:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 101
Mam problem z takim zadaniem:
Wykazać, że jeśli wysokość, dwusieczna i środkowa wychodzące z pewnego wierzchołka danego trójkąta dzielą kąt przy tym wierzchołku na 4 równe części, to ten kąt jest prosty.
próbowałam już różnych rzeczy, a wydaje mi się, że rozwiązanie jest banalne tylko nie mogę go zauważyć, proszę o pomoc:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 maja 2010, o 13:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 230
Lokalizacja: Pruszków
edit: Ech, znowu błąd zrobiłam... jednak nie widzę innej opcji, niż trygonometrią.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2010, o 22:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1365
Lokalizacja: Katowice
Niech ten trójkąt będzie ABC, przy czym wysokość AD, dwusieczna AE i środkowa AF dzielą kąt \angle CAB na 4 równe części. Niech prosta AD przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punktach D,G.

Zauważmy, że prosta AD jest symedianą w trójkącie ABC, zatem korzystając z własności symedian mamy AB \cdot GC = BG \cdot CA  \Leftrightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{GB}{GC}. Zatem punkty A, E, G leżą na pewnym okręgu Apoloniusza punktów B, C. Średnica EH tego okręgu leży oczywiście na prostej BC, zatem punkty A, G są symetryczne względem tej prostej. To zaś oznacza, że BC jest średnicą okręgu opisanego na ABC, zatem kąt \angle CAB jest prosty, cnd.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 maja 2010, o 23:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 101
a myślałam, że rozwiązanie jest banalne:)
dzięki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 21:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1365
Lokalizacja: Katowice
Pozwolę sobie przepisać o wiele prostsze rozwiązanie tego zadania, znalezione w książce "Kącik olimpijski. Geometria." pana Kurlyandchika.

Są trochę inne oznaczenia niż w moim wcześniejszym poście. Trójkąt ABC, wysokość BN, dwusieczna BL, środkowa BM. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej BL z okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Wówczas P jest środkiem łuku AC. Stąd MP jest prostopadłe do AC, więc BN || MP. Zatem \angle MBP = \angle NBL = \angle MPB, stąd MB = MP. Zatem M jest punktem przecięcia symetralnych odcinków BP i AC, czyli M jest środkiem tego okręgu, czyli AC jest średnicą, czyli \angle B = 90^\circ
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 Uzasadnij, że w trójkącie suma przyprostokątnych jest .  tomekn  2
 Jaki to trójkąt? Podane długości boków  iwcia100  3
 Trójkąt - Oblicz długość trzeciego boku  Tama  3
 Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl