szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 maja 2010, o 00:32 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Oblicz pole trójkąta ACD, gdzie A=(0,0), b=(-6,8), c=(6,8), a punkt D jest punktem przecięcia dwusiecznej kąta przy wierzchołku C z bokiem AB.

Rozrysowałam zadanie, ale nie wiem co dalej, czy punkt D mogę odczytać z układu czy jakoś go obliczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2010, o 07:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Oblicz pole albo z Herona albo jeszcze szybciej podstawiając współrzędne do wzoru na pole trójkąta w układzie współrzędnych ;)

P =  \frac{1}{2}| (xb-xa)(yc-ya)-(yb-ya)(xc-xa)|

Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 maja 2010, o 12:11 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
No tak, ale to chyba będzie pole trójkąta ABC?
Nie mam współrzędnych punktu D.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 maja 2010, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: St.W.
Skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej:

\frac{ \left|AD \right| }{ \left| DB\right| } = \frac{ \left|AC \right| }{ \left| BC\right| }
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 maja 2010, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Możesz mi powiedzieć jak z tego skorzystać? Nie znam AD ani DB.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 12:49 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Nadal nie rozwiązałam tego zadania. Mam rysunek:
http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/a94478ef955c927a.html
Wynika z niego, że punkt D ma współrzędne (-2,74;3,65). No ale jak to wyliczyć, bo wiadomo, że na rysunku nie musi być dokładnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 13:20 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
D=(x, y)

punkt D leży na prostej AB: y=- \frac{4}{3}x

Zatem: D=(x,- \frac{4}{3}x)

Teraz należy znaleźć równanie, z którego znajdziemy x. Albo tak jak już podpowiadano, z twierdzenia o dwusiecznej:

\frac{|BC|}{|BD|}= \frac{|AC|}{|AD|}

Jak podstawisz pod wszystkie długości wzory na odległość między punktami, dostaniesz równanie z x.

Inny sposób:

Prosta CD jest dwusieczną kąta BCA, a to oznacza, że wszystkie punkty na prostej CD są równo odległe od ramion tego kąta, czyli prostych BC i AC. Można z tego skorzystać:

d(D, BC)=d(D, AC)

Znaleźć wzory prostych BC i AC, podstawić wszystko i porównać ze wzoru na odległość punktu od prostej. Wtedy również dostaniemy równanie, z którego wyliczymy x.


Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 13:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
wishina napisał(a):
Skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej:

\frac{ \left|AD \right| }{ \left| DB\right| } = \frac{ \left|AC \right| }{ \left| BC\right| }


Inaczej, \frac{ \left|AD \right| }{ \left| AB\right| } = \frac{ \left|AC \right| }{ \left| BC\right| +  \left|AC \right| }.

Stąd,
P_{ACD}=P_{ABC}\cdot \frac{P_{ACD}}{P_{ABC}}=P_{ABC}\cdot \frac{ \left|AD \right| }{ \left| AB\right| }=P_{ABC}\cdot \frac{ \left|AC \right| }{ \left| BC\right| +  \left|AC \right| }= 48 \cdot \frac{10}{12+10}= \frac{48\cdot 10}{22}= \frac{240}{11}= 21\frac{9}{11}.

W ten sposób nie musisz obliczać punktu D.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 14:34 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Moim zdaniem nie jest to prawda. Skąd jest ta pierwsza proporcja? I na jakiej podstawie stosunki boków przeliczasz na stosunki pól? Trójkąty ABC, ACD, BCD nie są podobne. Każdy ma kąty o innej rozwartości.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 14:53 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Obliczając według pierwszego sposobu szukając x otrzymałam:
-933x^{2}-1700x+4575=0
Drugiego sposobu nie rozumiem do końca, ale jeśli jest dobry to byłby dużo prostszy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Jakiś błąd. Powinien wyjść trójmian:

11x^2-300x-900=0

Ma on 2 pierwiastki. Jeden z nich odrzucamy, gdyż punkt D jest zawartym w odcinku AB, zatem x \in <-6,0>

Drugi jest pierwszą współrzędną punktu D. Porównaj z rysunkiem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 16:25 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Ok, przeliczę jeszcze raz. A z tego równania kwadratowego mam takie rozwiązanie:
\sqrt{\Delta}=360

x_{1}= \frac{300-360}{2 \cdot 11}=2,72

x_{2}= \frac{300+360}{2 \cdot 11}=30
30 odrzucam, a 2,72 nie należy do prostej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
tak dokladnie, to drugi pierwiastek wynosi 2,727272..., czyli \frac{30}{11}, no i na minusie. Teraz wszystko sie zgadza. Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 maja 2010, o 02:42 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Nadal mi się nie zgadza, bo ani jeden ani drugi x nie należy do przedziału. Ale już mam tego dość, skorzystam jednak z twierdzenia o dwusiecznej, tam przynajmniej coś wyszło i wynik jest dobry.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2010, o 02:56 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Ale co się nie zgadza?

D=(x,- \frac{4}{3}x)

A=(0,0)

B=(-6,8)

D \in AB \Rightarrow x \in <-6,0>

Przecież do tego równania doszłaś właśnie poprzez skorzystanie z twierdzenia o dwusiecznej, nieprawdaż? :)

Po zapisaniu proporcji wynikającej z tego twierdzenia, oraz odpowiednich przekształceniach otrzymujemy równanie:

11x^2-300x-900=0

rozwiązania:

x=- \frac{30}{11} \vee x=30

x=- \frac{30}{11} \in <-6,0>

x=30\notin<-6,0>

D=(- \frac{30}{11}, \frac{40}{11})

I wszystko gra. Można wrzucać do wzoru na pole trójkąta z wartości iloczynu wektorowego (ten wzór podany na początku tematu)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pola kół wpisanych w trójkąty prostokątne  Anonymous  10
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl