szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 maja 2010, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Pleszew
Zadanie wygląda następująco. Chciałbym otrzymać w miarę proste rozwiązanie i pomoc do tego zadania. Cały sęk w tym, że potrzebne jest PROSTE rozwiązanie tak aby było łatwo wytłumaczalne dla poziomu liceum. Skomplikowaną metodę już widziałem i takiej bym nie chciał. Mam nadzieję, że ktoś przedstawi jakąś ciekawą propozycję.

Zadanie:

http://img24.imageshack.us/i/trjkt.jpg/

Jest to trójkąt równoboczny. Jego ramiona zostały podzielone na 3 równe części. Wykaż, że zamalowany trójkąt stanowi \frac{1}{7} trójkąta równobocznego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 maja 2010, o 22:28 
Użytkownik

Posty: 22443
Lokalizacja: piaski
Jest nieco wyjaśniania, może jakoś pójdzie.

Wrysuj tylko jeden odcinek łączący wierzchołek z bokiem.
Masz dwa trójkąty (oprócz wyjściowego) - mały (*) i duży.
Dorysowany odcinek z kosinusów.
Potem z sinusów - sinusy kątów tego mniejszego trójkąta.
Dorysuj drugi odcinek łączący wierzchołek wyjściowego z bokiem zobacz malutki trójkąt(**) którego znasz jeden bok i sinusy kątów - zatem możesz go rozwiązać..

Szukany otrzymasz odejmując od danego trzy trójkąty (*) i dodając trzy (**).
Góra
Offline
PostNapisane: 13 maja 2010, o 15:40 
Użytkownik

Posty: 39
http://img101.imageshack.us/img101/2641/trojkat.png

Linie kreskowane są liniami równoległymi do odpowiednich boków trójkąta ABC

Z podobieństwa trójkątów można wykazać że wyznaczony (środkowy) trójkąt jest trójkątem równobocznym (kąty po 60).

Teraz należy obliczyć stosunek pól trójkąta środkowego oraz trójkąta ABC. Zakładam że bok dużego trójkąta wynosi a bok środkowego b

|AB|=a \\
|HJ|=b

Z podobieństwa trójkątów ABD oraz BDE (kąt, kąt, kąt):

\frac {|BD|}{|AB|} = \frac {|DE|}{|BD|} \  \Rightarrow \ |DE|=\frac 1 9 a \  \Rightarrow \ |EK|=\frac 2 9 a

Z podobieństwa trójkątów DEG oraz BEK (kąt, kąt, kąt):

\frac {|DE|}{|EK|}= \frac {|DG|}{|BK|} \  \Rightarrow \ |DG|=\frac 1 6 a

Z podobieństwa trójkątów DGH oraz ABH (k = \frac 1 6) można zapisać:

|HH'| = \frac 6 7 |DD'| = \frac 6 7  \cdot \frac 1 3  \cdot  \frac {a\sqrt{3}}{2}

Odejmując od pola trójkąta dużego (o boku a) trzy trójkąty o polu trójkąta ABH otrzymamy pole trójkąty środkowego o boku b

P_b = P_a - 3P_{ABH} =  \frac{a^2\sqrt{3}}{4}-3 \cdot  \frac{1}{2}   \cdot a \cdot  \frac 6 7  \cdot \frac 1 3  \cdot  \frac {a\sqrt{3}}{2} =  \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} (1-\frac 6 7) = \frac 1 7 P_a
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 sprawdź czy trójkat o wierzchołkach..  basienka901  1
 Trójkąt, wyskokości, okrąg.....  adranek  3
 Trójkąt równoboczny, udowodnienie, że nim jest.  maaaka17  1
 srodek okregu wpisanego w dowolny trojkat  kanem  1
 Ciąg i trójkąt - zadanie 2  mol_ksiazkowy  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl