szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 22:41 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Wrocław
Witam

Mam problem z wykazaniem słuszności pewnej nierówności. Jeśli ktoś wie jak się za to zabrać prosiłbym chociażby o wskazówkę lub rozwiązanie gdyż nie mogę ruszyć z miejsca z tą nierównością

Oto treść zadania:

Pokazać za pomocą indukcji matematycznej, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x i y oraz dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność:

\frac{x^n+y^n}{2}\ge  \left(  \frac{x+y}{2} \right) ^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2010, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 255
Najpierw taki lemat, który się nam przyda ;)
x^{n+1}+y^{n+1} \geq x^ny + xy^n
nierówność ta jest równoważna:
x^n(x-y)+y^n(y-x) \geq 0
(x^n-y^n)(x-y) \geq 0
co jest oczywiście prawdą.

Dla n = 1 nierówność jest spełniona, czyli zachodzi dla pewnego n, pokażemy że zachodzi również dla n+1. Mnożąc obustronnie przez \frac{x+y}{2} dostajemy:
\left(\frac{x+y}{2} \right) ^{n+1} \leq \frac{x^n+y^n}{2}\cdot\frac{x+y}{2} = \frac{(x^{n+1}+y^{n+1})+(x^ny+xy^n)}{4} \leq \frac{(x^{n+1}+y^{n+1})+(x^{n+1}+y^{n+1})}{4} = \frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{2}
czyli
\left(\frac{x+y}{2} \right) ^{n+1} \leq \frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{2}
c.n.w. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2010, o 06:04 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Wrocław
Dziękuję bardzo za pomoc, pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna-nierówność  Qasi  5
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl