szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2010, o 23:14 
Użytkownik

Posty: 69
Na zewnątrz trójkąta ABC na bokach AB i BC zbudowano dwa kwadraty ABDE i BCKF. Wykazać, że środkowa Bp trójkąta ABC jest dwa razy krótsza od odcinka DF.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 maja 2010, o 23:48 
Użytkownik

Posty: 16230
|AB|=|BD|=c
|BC|=|BF|=a
|AC|=b
d - środkowa z wierzchołka B
\sphericalangle ABC=\beta
\sphericalangle DBF=180^o-\beta

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta DFB
|DF|^2=a^2+c^2-2ac\cos  \left( 180^o-\beta \right)
|DF|^2=a^2+c^2+2ac\cos \beta

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC
b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta

d= \frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2c^2-b^2}
2d=\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}
2d=\sqrt{2a^2+2c^2- \left( a^2+c^2-2ac\cos \beta \right)  \right) }
2d=\sqrt{a^2+c^2+2ac\cos \beta}
2d=\sqrt{|DF|^2}
2d=|DF|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 maja 2010, o 00:07 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Prościej jest na wektorach. Mamy:
|\vec{DF}|=|\vec{DB}+\vec{BF}|=|\vec{DE}+\vec{BC}|=|\vec{BA}+\vec{BC}|=2\cdot |\vec{BP}|
(druga równość wynika z tego, że nowy wektor jest obróceniem poprzedniego o kąt prosty, a obrót nie zmienia długości; ostatnia równość to prosta konsekwencja faktu, że przekątne równoległoboku przecinają się w połowie).

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wysokości trójkąta - oblicz boki  janko2  3
 pole trojkata rozwartokatnego bez funkcji trygonometrycznych  main123  1
 dł trzeciego boku trojkata - zadanie 2  południowalolka  1
 Wysokość trójkąta prostokątnego - zadanie 7  ext  5
 obliczenie boków trójkąta równoramiennego - zadanie 2  renia9108  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl