szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2010, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 100
Lokalizacja: małopolska
wyzancz wszystkie liczby całkowite n, dla których:
a) n+2 jest podzielne przez 2n-1
b)7n-4 jest podzielne przez 3n+5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2010, o 22:03 
Użytkownik

Posty: 153
Lokalizacja: Wroclaw
dla przykladu 1.
2n-1 dzieli n+2, czyli:
n+2 = k (2n-1) ; k \in Z\\
n+2 = 2kn- k\\
(1-2k)n=-k-2\\
n=\frac{-k-2}{1-2k} = \frac{k+2}{2k-1}\\
k \not = \frac {1}{2}
Sprawdzasz teraz kolejne k i podstawiajac, sprawdzasz, czy n wyjdzie naturalne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2010, o 22:20 
Gość Specjalny

Posty: 1996
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
filip.wroc napisał(a):
Sprawdzasz teraz kolejne k i podstawiajac, sprawdzasz, czy n wyjdzie naturalne...


I tak wszystkie liczby naturalne podstawiasz? Wiesz, że jest ich bardzo dużo?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2010, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 153
Lokalizacja: Wroclaw
oj dobra, przepraszam. wpadlem na jakas droge rozwiazania, po czym pod koniec utknalem. moze to jakos pomoze, a moze nie. Tak, wiem ze N to duzy zbior, a Z jest w teorii dwa razy wieksze (choc tez przeliczalne... kocham nieskonczonosci :P ).

oficjalnie posypuje glowe popiolem, chcialem dobrze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2010, o 14:37 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
filip.wroc napisał(a):
dla przykladu 1.
2n-1 dzieli n+2, czyli:
n+2 = k (2n-1) ; k \in Z\\
n+2 = 2kn- k\\
(1-2k)n=-k-2\\
n=\frac{-k-2}{1-2k} = \frac{k+2}{2k-1}\\
k \not = \frac {1}{2}
Sprawdzasz teraz kolejne k i podstawiajac, sprawdzasz, czy n wyjdzie naturalne...

Wystarczy sprawdzić całkowite k, dla których: \left|k-3 \right| \ge  \left|2k-1 \right|.

filip.wroc napisał(a):
Tak, wiem ze N to duzy zbior, a Z jest w teorii dwa razy wieksze (choc tez przeliczalne... kocham nieskonczonosci ).

Jak dla mnie to są równoliczne w teorii... i w praktyce z resztą też.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2010, o 15:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2345
Lokalizacja: Katowice
b) Można i tak (nie piszę założeń):

\frac{7n-4}{3n+5} = k\\ k = \frac{7n-4}{3n+5} = \ldots = \frac{7}{3} - \frac{47}{3(3n+5)}= \frac{1}{3}\left( 7 - \frac{47}{3n+5} \right)

47 jest liczbą pierwszą, zatem 3n+5= \pm 1  \vee 3n+5= \pm 47.

1^\circ \ 3n+5=-47  \Rightarrow 3n = -52 \Rightarrow n \not \in \mathbb{C}\\ 2^\circ \ 3n+5=-1  \Rightarrow 3n = -6 \Rightarrow n=-2\\ 3^\circ \ 3n+5=1  \Rightarrow 3n = -4 \Rightarrow n \not \in \mathbb{C}\\ 4^\circ \ 3n+5=47  \Rightarrow 3n = 42 \Rightarrow n = 14

Dwa potencjalne rozwiązania, teraz musimy je sprawdzić:

\frac{1}{3}\left( 7 - \frac{47}{3\cdot (-2)+5} \right)=\frac{1}{3}\left( 7 - \frac{47}{-1} \right)=\frac{1}{3}\left( 7 + 47 \right) = \frac{54}{3} = 18

Zgadza się. Teraz druga możliwość:

\frac{1}{3}\left( 7 - \frac{47}{3\cdot (14)+5} \right)=\frac{1}{3}\left( 7 - \frac{47}{47} \right)=\frac{1}{3}\left( 7 -1 \right) = \frac{6}{3} = 2

Zatem istnieją tylko dwie takie liczby n. Odpowiedź: n=-2  \vee n=14.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielnośc liczb całkowitych - zadanie 3  kamrad  3
 Podzielność liczb całkowitych  kotor1989  6
 Podzielność przez 41  szprot_w_oleju  7
 podzielność liczb - zadanie 2  martynka148  3
 Podzielność przez 11. Suma liczb z potęgami.  GluEEE  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl