szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lis 2004, o 19:48 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Oświęcim
Bylam dzisiaj na tym konkursie. Oto zadania:

1) Podaj wszystkie pary liczb calkowitych spelniajcae uklad nierownosci:
y-|x^2-2x|>=0
y+|x-1|=<2

2) Udowodnij, ze jezeli funkcja f:R->R spelnia dla kazdego xeR warunek f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x)) gdzie a<>0, to jest okresowa w zbiorze R.

3) Trapez rownoramienny o przekatnej 5 cm i obwodzie 16 cm jest opisany na okregu. Znajdz promien r okregu wpisanego w ten trapez i promien R opisanego na nim.

4) W trojkacie ABC poprowadzono dwusieczna AK. Okregi: wpisany w trojkat ABK i opisany na trojkacie ABC maja wspolny srodek. Wyznacz katy trojkata ABC.

Czy mozecie je rozwiazac? Jestem ciekawa jakie sa rozwiazania.[/list]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2004, o 00:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1555
Lokalizacja: Kraków
chyba raczej nie bardzo moglas byc na tym konkursie bo on sie dopiero odbedzie. co najwyzej moglas miec szkolne eliminacje do niego.

o ile mnie pamiec nie myli to to jest tylko w Krakowie, a przypadek sprawil ze dzis u mnie w szkole tez byly eliminacje :)

w pierwszym bym narysowal sobie na plaszczyznie zbiory spelniajace te dwie nierownosci, zaznaczylbym czesc wspolna i poszukal wewnatrz nich punktow o wspolrzednych calkowitych. nierownosci sa takie ze ten wspolny obszar bedzie dosyc maly. na reszte nie mam pomyslu, ja mialem prostsze :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2008, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Nowy Sącz/ Kraków
Ad. zad.1
Musimy rozwiązać układ równań
\begin{cases} y - |x^{2} - 2x| \geqslant 0 \\y + |x - 1| \leqslant 2\end{cases}

Rozpatrzmy 4 przypadki
I. gdy \begin{cases} x^{2} - 2x \geqslant 0 \\x - 1 \geqslant 0\end{cases} II. gdy \begin{cases} x^{2} - 2x \geqslant 0 \\x - 1 < 0\end{cases} III. gdy \begin{cases} x^{2} - 2x < 0 \\x - 1 \geqslant 0\end{cases} IV. gdy \begin{cases} x^{2} - 2x < 0 \\x - 1 < 0\end{cases}

Ad. Przypadek I.
Rozwiązując układ równań, w którym obydwa wyrażenia znajdujące się pod wartością bezwzględną są nieujemne dostajemy rozwiązanie x \in . I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\begin{cases} y - |x^{2} - 2x| \geqslant 0 \\y + |x - 1| \leqslant 2\end{cases}

Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\begin{cases} y - x^{2} + 2x \geqslant 0 \\y + x - 1 \leqslant 2\end{cases}

i ostatecznie:
\begin{cases} y \geqslant x^{2} - 2x\\y \leqslant - x + 3\end{cases}

Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku x \in otrzymujemy dwie pary liczb spełniających te wszystkie warunki i założenia: (2,0) i (2,1).

Ad. Przypadek II.
Rozwiązując układ równań, w którym pierwsze wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną jest nieujemne, drugie zaś ujemne dostajemy rozwiązanie x \in (- \infty , 0>. I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\begin{cases} y - |x^{2} - 2x| \geqslant 0 \\y + |x - 1| \leqslant 2\end{cases}

Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\begin{cases} y - x^{2} + 2x \geqslant 0 \\y - x + 1 \leqslant 2\end{cases}

i ostatecznie:
\begin{cases} y \geqslant x^{2} - 2x\\y \leqslant  x + 1\end{cases}

Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku x \in (- \infty , 0> otrzymujemy dwie pary liczb spełniających te wszystkie warunki i założenia: (0,1) i (0,0).

Ad. Przypadek III.
Rozwiązując układ równań, w którym w którym pierwsze wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną jest ujemne, drugie zaś nieujemne dostajemy rozwiązanie x \in < 1, 2 ). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\begin{cases} y - |x^{2} - 2x| \geqslant 0 \\y + |x - 1| \leqslant 2\end{cases}

Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\begin{cases} y + x^{2} - 2x \geqslant 0 \\y + x - 1 \leqslant 2\end{cases}

i ostatecznie:
\begin{cases} y \geqslant - x^{2} + 2x\\y \leqslant  - x + 3\end{cases}

Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku x \in < 1, 2 ) otrzymujemy dwie pary liczb spełniających te wszystkie warunki i założenia: (1,1) i (1,2).

Ad. Przypadek IV.
Rozwiązując układ równań, w którym obydwa wyrażenia znajdujące się pod wartością bezwzględną są ujemne dostajemy rozwiązanie x \in (0,1). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\begin{cases} y - |x^{2} - 2x| \geqslant 0 \\y + |x - 1| \leqslant 2\end{cases}

Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\begin{cases} y + x^{2} - 2x \geqslant 0 \\y - x + 1 \leqslant 2\end{cases}

i ostatecznie:
\begin{cases} y \geqslant - x^{2} + 2x\\y \leqslant  x + 1\end{cases}

Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku x \in (0,1) okazje się, że w tym przedziale nie ma par liczb całkowitych.

Ostatecznie rozwiązaniem są: (2,0), (2,1), (0,1), (0,0), (1,1) i (1,2).

[ Dodano: 7 Września 2008, 00:53 ]
Ad. zad. 2

f: \mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R} spełnia \forall x\in R f(x+a) = \frac{1-f(x)}{1+f(x)} , gdzie a\neq0 \Rightarrow f jest okresowa na zbiorze \mathbb{R}

Rozwiązanie
Zauważmy, że tylko funkcja stała spełnia warunek \forall x\in R f(x+a) = \frac{1-f(x)}{1+f(x)} , gdzie a\neq0 oraz f(x)\neq-1
A funkcja stała jest funkcją okresową.

Udowodnijmy, że f jest funkcją stałą

Niech x=m\in\mathbb{R}
f(m+a_1)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}
f(m+a_2)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}
\vdots
f(m+a_n)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}

\forall a_1, a_2, ... ,a_n \neq 0 f(x+a_1)=f(x+a_2)=...=f(x+a_n)
Dla różnych argumentów wartość funkcji jest taka sama \Rightarrow f jest funkcją stałą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 15:04 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Niestety nie mogę się zgodzić z rozwiązaniem zadania drugiego. Albo ja tego nie przetworzyłem albo Ty zrobiłaś błąd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 15:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Błąd jest, bo ania_ann przyjęła nagle, że dane "a" jest zmienne. Stąd fałszywe wnioski. Przy okazji: "ad" to nie jest żaden skrót. Nie stawiamy po nim kropki.

Zauważmy, że
f(x+2a)=f(x+a+a)= \frac{ 1 - f(x+a)}{1+f(x+a)}= \frac{ 1- \frac{1-f(x)}{1+f(x)} }{1+ \frac{1-f(x)}{1+f(x)}}=\frac{1+f(x)-1+f(x)}{1+f(x)+1-f(x)}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)
więc w istocie funkcja f jest okresowa o okresie równym 2a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 19:40 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Kraków
Ja natomiast zgadzam się z użytkownikiem ania_ann, gdyż w treści zadania nie jest napisane, że a jest stałe - mamy tylko informację, że a \neq 0, co oznacza, iż funkcja f spełnia podane założenia dla każdego a  \neq 0 i przy takim założeniu jedynie funkcja stała może spełnić warunek. Gdyby było powiedziane, iż podana równość jest spełniona dla pewnego z góry ustalonego a, jej rozumowanie byłoby błędne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 19:47 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
W rozwiązaniu ania_ann wnioski są wzięte z kosmosu, poza tym zapis jest słaby. Mimo wszystko i tak nie rozumiem tego rozwiązania :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 23:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
W zadaniu nie ma miejsca na takie dywagacje towelie . Treśc jest jasna. Dla dowolnego iksa rzeczywistego rzeczona funkcja przy danym a różnym od zera jest okresowa. Co to oznacza? Że jeśli a=3, to wtedy funkcja f będzie okresowa o okresie równym 6. Jeśli a=-2, to okresem będzie -4. Na tym polega w tym wypadku "dowolność" a.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wrocławskie konkursy matematyczne.  Mikkello  0
 Zawody ogólnopolskie - informacje!  Arek  2
 konkursy/olimpiady matematyczne dla studentów  mnij  4
 Matematyczne Mistrzostwa Polski Dzieci i Młodzieży 2014  debora  1
 (zawody) optymal, sin , cos  Simong  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl