szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2010, o 18:19 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Koluszki
Witam. Proszę o pomoc przy zadaniu, z którym nie moge sobie dać rady. Mianowicie mam wykazać, że jeśli środkowa poprowadzona w trójkącie ABC z punktu C (do D) jest dłuższa od połowy odcinka |AB| to \sphericalangle C jest mniejszy niż 90 stopni.

|CD|> \frac{1}{2} |AB| \  \Rightarrow \   \sphericalangle C<90^0

Jest to zadanie (z rozszerzenia) z pierwszej klasy liceum ze zbioru zadań Krzysztofa Kłaczkowa.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 cze 2010, o 19:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1680
Lokalizacja: Poznań
Do boku AB "doklejmy" trójkąt przystający do danego tak, aby otrzymać równoległobok (ABCC'), wtedy jego przekatne będą miały długość |AB| i 2|CD|, przy czym z założenia 2|CD|> |AB|. Naprzeciwko dłuższej przekątnej leży kąt o wiekszej rozwartości, zatem \sphericalangle A  > \sphericalangle C, a ponieważ \sphericalangle A+ \sphericalangle C=180^0, więc \sphericalangle A-\sphericalangle C=(180^0-\sphericalangle C)-\sphericalangle C>0 \  \Rightarrow \ \sphericalangle C < 90^0, a to mieliśmy pokazać. : )
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 cze 2010, o 19:58 
Użytkownik

Posty: 16230
CD=d_c
d_c> \frac{1}{2}c
d_c=  \frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}

\frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}>\frac{1}{2}c
2a^2+2b^2-c^2>c^2
a^2+b^2-c^2>0

Z twierdzenia cosinusów mamy:
cos\gamma= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}>0

\gamma<90^o
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2010, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 382
Można nieco inaczej.

Twierdzenie:
Cytuj:
Większy kąt trójkąta leży naprzeciwko dłuższego boku.

|CD|>|AD| \Rightarrow  \sphericalangle DAC > \sphericalangle DCA

|CD|>|BD| \Rightarrow  \sphericalangle DBC> \sphericalangle DCB

Dodajemy nierówności stronami:

\sphericalangle DAC +  \sphericalangle DBC> \sphericalangle DCA+ \sphericalangle DCB

\sphericalangle DAC +  \sphericalangle DBC> \sphericalangle ACB \quad (1)


Dla \Delta ABC mamy:

\sphericalangle ACB+ \sphericalangle DBC+ \sphericalangle DAC=180º

180º-\sphericalangle ACB= \sphericalangle DBC+ \sphericalangle DAC \quad (2)


Wstawiamy (2) do (1):

180º-\sphericalangle ACB>\sphericalangle ACB

\sphericalangle ACB < 90º

cnd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2010, o 01:57 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Koluszki
Wielkie dzięki, naprawdę mi to bardzo pomogło (żadnej ironi). Niech wam to Bóg w dzieciach wynagrodzi. Jeszcze raz dzięki. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 środkowa trójkąta - zadanie 7  tamuel  1
 srodkowa trojkata - zadanie 2  astuhu  3
 srodkowa trojkata  mart1na  1
 Środkowa trójkąta - zadanie 2  Frewew  1
 Środkowa trójkąta - zadanie 8  Ogorek00  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl