szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2010, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Leszno.Zielona Góra
Zadanie na zaliczenie. Proszę o pomoc potrzebuję mieć wzór rozwiązania takiego zadania, żebym mógł liczyć inne przykłady. Podaję dwa łatwiejsze przykłady:
1.\sum_{n-1}^{i=1} 2 ^{i+1}= 2(2 ^{n}-2)



2.n ^{3}< 3 ^{n}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2010, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 1427
Lokalizacja: Warszawa
1. T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{n-1} 2^{i+1}=2(2^n-2)

Najpierw sprawdzamy, czy twierdzenie sprawdza się dla najmniejszej liczby naturalnej, dla jakiej jest określone:

n=2

2^2=2(2^2-2)

L=P

Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla dowolnego k:

\bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}=2(2^k-2)

Teraz należy, korzystając z powyższego założenia, dowieść że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1

L=\sum_{i=1}^{k} 2^{i+1}=\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}+2^{k+1}=2(2^k-2)+2^{k+1}=2 \cdot 2^k-4+2 \cdot 2^k=2(2 \cdot 2^k-2)=2(2^{k+1}-2)

P=2(2^{k+1}-2)

L=P

Komentarz:

Po sprawdzeniu twierdzenia dla n=2, z założenia prawdziwości dla n=k wynikła prawdziwość dla n=k+1, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej dodatniej liczby naturalnej nie mniejszej niż 2.

Mniej więcej coś takiego, mam nadzieję, że niczego nie pominąłem.

-- 22 czerwca 2010, 01:26 --

2. T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N} 3^n>n^3

n=0 \Rightarrow 3^0>0^3

Prawda.

Założenie indunkcyjne:

\bigwedge\limits_{k\in N} 3^k>k^3

Teraz korzystając z założenia dowodzimy, że nierówność zachodzi dla n=k+1:

3^{k+1}>(k+1)^3

W tym celu następująco przekształcimy założenie indukcyjne:

3 \cdot 3^k>3k^3

3k^3>(k+1)^3

k \sqrt[3]{3}>k+1

k( \sqrt[3]{3}-1)>1

k> \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}

k> \frac{ \sqrt[3]{9}+ \sqrt[3]{3}+1  }{2} \approx 2,26

Zatem:

\begin{cases} \bigwedge\limits_{k\in N} 3 \cdot 3^k>3k^3 \\ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3k^3>(k+1)^3 \end{cases} \Rightarrow \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3^{k+1}>3k^3>(k+1)^3

Tym sposobem udowodniliśmy w oparciu o założenie indukcyjne, że nierówność zachodzi dla n=k+1, przy czym k musi być większe od 2. Pozostaje nam więc sprawdzić, że nierówność zachodzi także dla n=1 i n=2, aby mieć całość:

n=1 \Rightarrow 3^1>1^3

n=2 \Rightarrow 3^2>2^3

Czyli: po sprawdzeniu nierówności dla…, z założenia dla n=k wynikła prawdziwość dla…
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić indukcyjnie - zadanie 12  olga523  1
 Udowodnic indukcyjnie - zadanie 9  Dexous  2
 udowodnić indukcyjnie - zadanie 3  monika0823  9
 udowodnić indukcyjnie - zadanie 11  flaminess  1
 Udowodnic indukcyjnie - zadanie 2  beatka-k16  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl