Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Udowodnić indukcyjnie - zadanie 2

Strona 1 z 1

[ Posty: 2 ]

Autor

Wiadomość

JAzz

Tytuł: Udowodnić indukcyjnie

Napisane: 21 cze 2010, o 15:43

Posty: 11
Lokalizacja: Leszno.Zielona Góra

Zadanie na zaliczenie. Proszę o pomoc potrzebuję mieć wzór rozwiązania takiego zadania, żebym mógł liczyć inne przykłady. Podaję dwa łatwiejsze przykłady:
1. $\sum_{n-1}^{i=1} 2 ^{i+1}= 2(2 ^{n}-2)$

2. $n ^{3}< 3 ^{n}$

Góra

Majeskas Offline

Tytuł: Udowodnić indukcyjnie

Napisane: 21 cze 2010, o 17:31

Posty: 1430
Lokalizacja: Warszawa

1. $T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{n-1} 2^{i+1}=2(2^n-2)$

Najpierw sprawdzamy, czy twierdzenie sprawdza się dla najmniejszej liczby naturalnej, dla jakiej jest określone:

n=2

$2^2=2(2^2-2)$

L=P

Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla dowolnego k:

$\bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}=2(2^k-2)$

Teraz należy, korzystając z powyższego założenia, dowieść że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1

$L=\sum_{i=1}^{k} 2^{i+1}=\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}+2^{k+1}=2(2^k-2)+2^{k+1}=2 \cdot 2^k-4+2 \cdot 2^k=2(2 \cdot 2^k-2)=2(2^{k+1}-2)$

$P=2(2^{k+1}-2)$

L=P

Komentarz:

Po sprawdzeniu twierdzenia dla n=2, z założenia prawdziwości dla n=k wynikła prawdziwość dla n=k+1, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej dodatniej liczby naturalnej nie mniejszej niż 2.

Mniej więcej coś takiego, mam nadzieję, że niczego nie pominąłem.

-- 22 czerwca 2010, 01:26 --

2. $T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N} 3^n>n^3$

$n=0 \Rightarrow 3^0>0^3$

Prawda.

Założenie indunkcyjne:

$\bigwedge\limits_{k\in N} 3^k>k^3$

Teraz korzystając z założenia dowodzimy, że nierówność zachodzi dla n=k+1:

$3^{k+1}>(k+1)^3$

W tym celu następująco przekształcimy założenie indukcyjne:

$3 \cdot 3^k>3k^3$

$3k^3>(k+1)^3$

$k \sqrt[3]{3}>k+1$

$k( \sqrt[3]{3}-1)>1$

$k> \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}$

$k> \frac{ \sqrt[3]{9}+ \sqrt[3]{3}+1 }{2} \approx 2,26$

Zatem:

$\begin{cases} \bigwedge\limits_{k\in N} 3 \cdot 3^k>3k^3 \\ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3k^3>(k+1)^3 \end{cases} \Rightarrow \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3^{k+1}>3k^3>(k+1)^3$

Tym sposobem udowodniliśmy w oparciu o założenie indukcyjne, że nierówność zachodzi dla n=k+1, przy czym k musi być większe od 2. Pozostaje nam więc sprawdzić, że nierówność zachodzi także dla n=1 i n=2, aby mieć całość:

$n=1 \Rightarrow 3^1>1^3$

$n=2 \Rightarrow 3^2>2^3$

Czyli: po sprawdzeniu nierówności dla…, z założenia dla n=k wynikła prawdziwość dla…

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 2 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Udowodnić indukcyjnie - zadanie 12	olga523	1
udowodnić indukcyjnie - zadanie 11	flaminess	1
Udowodnic indukcyjnie - zadanie 2	beatka-k16	1
Udowodnić indukcyjnie - zadanie 6	myszka666	2
Udowodnić indukcyjnie - zadanie 7	siwy206	10

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]