szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2010, o 06:30 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Niech \triangle ABC gdzie m(\angle BAC) = \frac {\pi}{4} i istnieje D\in (AC) takie ze AD = BC oraz m(\angle CBD) = \frac {\pi}{8}. Znajdz \angle ACB
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2010, o 18:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 100
Lokalizacja: Warszawa
Zadanie rozwiążemy z zastosowaniem twierdzenia sinusów dla \triangle ABD i \triangle BCD. Skoro:
|\angle BAC|=\frac{\pi}{4} \wedge |\angle CBD|=\frac{\pi}{8} \wedge |\angle BCA|=\alpha=? \wedge |AD|=|BC| ,\quad (1)

to
|\angle CDB|=\pi-(\alpha +\frac{\pi}{8}) \wedge |\angle BDA|=\alpha +\frac{\pi}{8} \wedge |\angle ABD|=\pi-(\alpha +\frac{3\pi}{8} ).\quad (2)

W \triangle ABD, mamy:
\frac{|AD|}{\sin{|\angle ABD|}}=\frac{|BD|}{\sin{|\angle BAC|}} \Leftrightarrow \frac{|AD|}{\sin{[\pi-(\alpha+\frac{3\pi}{8})]}}=\frac{|BD|}{\sin{\frac{\pi}{4}}} \Leftrightarrow |BD|=\frac{|AD|\sin{\frac{\pi}{4}}}{\sin{[\alpha+\frac{3\pi}{8}]}}\quad (3)

W \triangle BCD, mamy:
\frac{|BD|}{\sin{|\triangle BCD|}}=\frac{|BC|}{\sin{|\triangle CDB|}} \Leftrightarrow \frac{|BD|}{\sin{\alpha}}=\frac{|BC|}{\sin{[\pi-(\alpha +\frac{\pi}{8})]}} \Leftrightarrow |BD|=\frac{|BC|\sin{\alpha}}{\sin{[\alpha+\frac{\pi}{8}]}}.\quad (4)

Skoro |BD| z (3) jest równe |BD| z (4), to
\frac{|AD|\sin{\frac{\pi}{4}}}{\sin{[\alpha+\frac{3\pi}{8}]}}=\frac{|BC|\sin{\alpha}}{\sin{[\alpha+\frac{\pi}{8}]}} \Leftrightarrow \frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\sin{[\alpha+\frac{3\pi}{8}]}}=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{[\alpha+\frac{\pi}{8}]}}.\quad (5)

Uprościmy równość (5) korzystając ze wzorów redukcyjnych:
\sin{[\alpha+\frac{3\pi}{8}]}=\sin{[\alpha+\frac{4\pi}{8}-\frac{\pi}{8}]}=\sin{[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{8}-\alpha)]}=\cos{[\frac{\pi}{8}-\alpha]}=\cos{[\alpha-\frac{\pi}{8}]}.\quad (6)

Wstawiając (6) do (5), otrzymujemy:
\frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\sin{[\alpha+\frac{3\pi}{8}]}}=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{[\alpha+\frac{\pi}{8}]}} \Leftrightarrow \frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos{[\alpha-\frac{\pi}{8}]}}=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{[\alpha+\frac{\pi}{8}]}}.\quad (7)

Rozwiązując równanie (7) otrzymasz:
|\triangle BCA|=\frac{\pi}{4}

Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Miara kąta w trójkącie - zadanie 5  armagonis  1
 miara kąta w trójkącie - zadanie 2  robin5hood  1
 miara kąta w trójkącie - zadanie 4  darek90r  1
 miara kąta w trójkącie  dwukwiat15  1
 Miara kąta w trójkącie - zadanie 6  SuperMonia  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl