szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2010, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Bydgoszcz
Witam i proszę o pomoc... :)

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n:

\sum_{k=1}^{n}  k^{2}= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

PzDr... :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2010, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Czas Środkowo Europejski
Najpierw dla n=1, jesli L=P to n=k, następnie Teza n=k+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2010, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z tym akurat nie ma problemu, chodzi mi głównie o dowód... :)
Potrafi ktoś...[?]
Będę niezmiernie wdzięczny... :)
Góra
PostNapisane: 16 lip 2010, o 21:31 
Użytkownik
Cytuj:
Potrafi ktoś...[?]


tak. Zapisz najpierw tezę , a później skorzystaj z założenia
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2010, o 10:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2489
miodzio1988, możesz sprawdzić poprawność?

\sum_{k=1}^{n} k^{2}= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ 1^{o} \\ n=1 \\ L=P \\ 2^{o} \\ n=k \\ \sum_{k=1}^{k} k^{2}= \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) \\ n=k+1 \\ \sum_{k=1}^{k+1} (k+1)^{2}= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+2) \Rightarrow \sum_{k=1}^{k+1} k^{2}(k+1)^{2}= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2010, o 22:03 
Użytkownik

Posty: 304
Lokalizacja: Warszawa
damianplflow napisał(a):
miodzio1988, możesz sprawdzić poprawność?

\sum_{k=1}^{n} k^{2}= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ 1^{o} \\ n=1 \\ L=P \\ 2^{o} \\ n=k \\ \sum_{k=1}^{k} k^{2}= \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) \\ n=k+1 \\ \sum_{k=1}^{k+1} (k+1)^{2}= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+2) \Rightarrow \sum_{k=1}^{k+1} k^{2}(k+1)^{2}= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)


Zamiast bawić się w wzorkologie lepiej napisać co robisz, tak aby rozwiązanie było czytelne. Numerowanie kroków nie wydaje się potrzebne, szczególnie, że pomijasz sprawdzenie dla n=1- nie lepiej po prostu napisać, że sie zgadza i przejść do istotniejszej części?

Także gdy piszemy n=k a dwie linijki nizej n=k+1 nie wygląda to estetycznie, a dodatkowa zmienna nie jest potrzeba- starczy napisać słowami jedno zdanie.

Przypuśćmy, że dla pewnego n\geq 1 zachodzi teza. Wówczas \sum_{i=1}^{n+1}(i+1)^2=\sum_{i=1}^n i^2+(n+1)^2=(n+1)^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, co na mocy zasady indukcji kończy dowód.

Co do samego rozwiązania, to zupełnie nie rozumiem co napisałeś w kroku indukcyjnym i cokolwiek by to nie było nie wydaje się być poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2010, o 03:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2489
Jeśli pomijam sprawdzenie dla n=1 to jestem pełen szacunku do Ciebie jeśli chodzi o obserwację tematu :) Nie stawiałem na poprawność, i nie do końca chyba wiesz co mówisz nadmieniając wzorkologię ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2010, o 07:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Ten dowód już się przewinął na tym form n razy. Wystarczy skorzystać z opcji "szukaj".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2010, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 304
Lokalizacja: Warszawa
damianplflow napisał(a):
Jeśli pomijam sprawdzenie dla n=1 to jestem pełen szacunku do Ciebie jeśli chodzi o obserwację tematu :) Nie stawiałem na poprawność, i nie do końca chyba wiesz co mówisz nadmieniając wzorkologię ;)


Sarkazm nie jest potrzebny- to była tylko rada (wciąż wydaje mi się, ze dobra). Co do wzorkologii- dotyczy to zapisów wykorzystujących symbole, które nie są niezbędne. Rozumiem, że napis L=P poprzedzony równością n=1 ma oznaczać, że dokonujesz sprawdzenia warunku początkowego, jednak wiem o tym ponieważ domyślam się tego, a n ie dlatego że zostało to wyraźnie napisane. Istotne jest też pozostanie konsekwentnym- jeżeli już chcesz użyć implikacji to można by dodać kwantyfikatory- bez nich także trzeba się domyślać, co która literka oznacza (szczególnie, że pod napisem n=k pojawia się n=k+1.

Zrezygnowanie z nadużywania symboli pozwala też przyspieszyć szybkość przyswajania wypowiedzi przez inne osoby- ucząc się elementów teorii Ramsey'a wolałem słuchać komentarza nauczyciela od skryptu pełnego symboli, który znalazłem w necie.

Byc może moje podejście wynika po części z sposobu w jaki byłem nauczany matematyki- do pewnego momentu zaczynając pisać rozwiązanie na tablicy, rozpoczynając od napisu "\epsilon >0" byłem proszony o dopisania przez nim co najmniej słowa "niech" :) Aż w końcu zacząłem tak pisać samemu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2010, o 13:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2489
Ważne, że zrobiłeś poprawnie, a ja nadrabiam braki z technikum. Muszę jeszcze zrobić kilka przykładów ponieważ w sumie wiem na czym polega ta indukcja, ale ostatni krok jest dlań najtrudniejszy, albo po prostu robię to przez nieuwagę.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna - podzielność liczby  Effi  3
 Nierównosci - udowodnic indukcyjnie.  gosiunia1234  2
 jak udowodnić tą nierówność  domel666  17
 Udowodnic nierownosc za pomoca indukcji matematycznej.  gaga  1
 suma kątów w n-kącie (udowodnić przez indukcję)  m1h4u  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl