szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2010, o 14:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 497
Lokalizacja: z całki tego świata
Witam, mam takie oto zadanie:

f_{n-1}^{2}  \cdot f_{n} = f ^{3} _{n+1}

Mam nadzieję, że zgadnięcie i dowód przez indukcję nie będzie jedynym możliwym rozwiązaniem ;]
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2010, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 3921
Lokalizacja: Warszawa
Jeśli któryś wyraz będzie zerowy, to wszystkie kolejne też; załóżmy zatem, że wyrazy tego ciągu są niezerowe i podzielmy podaną równość obustronnie przez f_{n}^{3}. Zauważmy przy okazji, że f_{n} oraz f_{n-1} są tego samego znaku i spójrzmy na otrzymaną równość:
\left(\frac{f_{n-1}}{f_{n}}\right)^{2} = \left(\frac{f_{n+1}}{f_{n}}\right)^{3}.
Narzuca się podstawienie a_{n} = \frac{f_{n+1}}{f_{n}}, \ a_{n} >0. Dostajemy teraz taką zależność:
a_{n-1}^{-\frac{2}{3}} = a_{n},
co po obustronnym zlogarytmowaniu daje:
-\frac{2}{3}ln(a_{n-1}) = ln(a_{n})
Wobec tego ciąg (ln(a_{n})) jest geometryczny; otrzymujemy łatwo postać ciągu a_{n}. Stąd już prosta droga do wzoru na f_{n}.
W zasadzie można od razu zlogarytmować i wtedy dostaniemy liniową rekurencję na wyrazu ciągu (ln(f_{n})).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2010, o 15:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 497
Lokalizacja: z całki tego świata
Przepraszam, zapomniałem:

f _{0} = 1
f _{1} = 2

I dzięki, właśnie próbuję to ogarnąć ;]

-- 26 lipca 2010, 16:25 --

Jadę tak:

a_{n} = a _{0} ^{(- \frac{2}{3}) ^{n}  }
\frac{f _{n+1} }{f _{n} }= 2 ^{(- \frac{2}{3}) ^{n-1}  }
f _{n} =  \prod_{k=0}^{n-1} 2 ^{(- \frac{2}{3}) ^{k}  } = 
2 ^{ \sum_{k=0}^{n-1} (- \frac{2}{3}) ^{k}}

Tutaj jeszcze po podstawieniu wyniki się zgadzają. Ale jak to rozwalić dalej?

-- 26 lipca 2010, 16:49 --

Dobra, poszło z zaburzania, jeszcze raz dzięki ;]
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pierwiastek rekurencja  6mari9  7
 rekurencja nieliniowa - zadanie 2  Brzytwa  2
 Wzór jawny, rekurencja.  swpr  4
 Rekurencja z liczbami zespolonymi  MenosGrandes  7
 rekurencja, ilość ciągów  kolegasafeta  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl