szukanie zaawansowane
 [ Posty: 34 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 lip 2010, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 250
1. Wykaż, że jeżeli n  \in  N i n nie jest podzielne przez 3, to n^{2} +2 jest podzielne przez 3.
2. Wykaż, że jeżeli a  \in C, to a^{3} -a jest podzielne przez 6.
3. Liczby całkowite a, b, c przy dzieleniu przez 4 dają odpowiednio reszty 1, 2, 3. Oblicz resztę z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 4.
4. Znajdź resztę z dzielenia sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 00:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Ad 1.:
Liczba nie podzielna przez trzy jest zawsze postaci 3n \pm 1.

Ad 2.:
a^3 - a = a(a^2 - 1) = (a-1)a(a+1)
Co możesz powiedzieć o iloczynie trzech kolejnych liczb naturalnych?

Ad 3.:
a := 4k +1 \\ b := 4l + 2 \\ c:= 4m + 3
Względnie kongruencje (szybciej i ładniej).

Ad 4.:
Zapisz i sprawdź.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 sie 2010, o 10:09 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
4.
\frac{(a-1) ^{2}+a ^{2}+(a+1) ^{2}   }{3}= \frac{a ^{2}-2a+1+a ^{2}+a ^{2} +2a+1}{3} = \frac{ 3a ^{2} +2}{3}
Stąd już wszystko widać
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 10:27 
Użytkownik

Posty: 250
Ad 1.np. 3k+1=n1

np. 3l+2=n2

(3k+1)  ^{2}+2 =  \frac{3(3k ^{2}+2k +1  }{3} =3k ^{2} +1+2k

(3l+2) ^{2} +2 =  \frac{3(3k ^{2}+2+2k }{3} = 3k^{2} +2 +2k

Ad. 3
( \frac{4k+1) ^{2} +(4l+2) ^{2} +(4m+3) ^{2} }{4} =4(4k ^{2} + 4l^{2} +4m ^{2} +2k+4l+6m 

\frac{4(4k ^{2}) + 4l^{2} +4m ^{2} +2k+4l+6m }{4} + \frac{14}{4} = 4k ^{2} + 4l^{2} +4m ^{2}
 
+2k+4l+6m +3 (r=2)

Ad.4

n ^{2} +(n+1) ^{2} +(n+2) ^{2} = \frac{3(n ^{2} +2n)}{3} + \frac{5}{3} =n( ^{2} +2n+1
 
(r=2)

Ad.2 Z tym mam problem.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 sie 2010, o 10:33 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
a ^{3}-a=(a-1) \cdot a \cdot (a+1)
Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.
W zbiorze trzech kolejnych liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 3 i conajmniej jedna jest podzielna przez 2. Jaki wniosek wyciągniesz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 10:34 
Użytkownik

Posty: 250
jest podzielna przez 6. A skąd to wiesz? Jak to udowodnić ?

-- 1 sie 2010, o 11:41 --

Skąd wiesz, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielne przez 3 i 2 ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 sie 2010, o 10:45 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Michał12345 napisał(a):
A skąd to wiesz? Jak to udowodnić ?


To chyba oczywiste? A jak nie to dokładnie się przypatrz.
Mamy trzy kolejne liczby naturalne.
Popatrz na ciąg liczb naturalnych
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...
Co druga liczba naturalna jest parzysta, czyli podzielna przez 2
Co trzecia podzielna przez 3.
Nie da się wziąć 3 kolejnych liczb naturalnych takich że ani jedna z nich nie jest podzielna przez 3.
Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna lub 2 są parzyste.

-- 1 sie 2010, o 11:51 --

Michał12345 napisał(a):
Ad 1.np. 3k+1=n1

np. 3l+2=n2

(3k+1)  ^{2}+2 =  \frac{3(3k ^{2}+2k +1  }{3} =3k ^{2} +1+2k

(3l+2) ^{2} +2 =  \frac{3(3k ^{2}+2+2k }{3} = 3k^{2} +2 +2k

Ad. 3
( \frac{4k+1) ^{2} +(4l+2) ^{2} +(4m+3) ^{2} }{4} =4(4k ^{2} + 4l^{2} +4m ^{2} +2k+4l+6m 

\frac{4(4k ^{2}) + 4l^{2} +4m ^{2} +2k+4l+6m }{4} + \frac{14}{4} = 4k ^{2} + 4l^{2} +4m ^{2}
 
+2k+4l+6m +3 (r=2)

Ad.4

n ^{2} +(n+1) ^{2} +(n+2) ^{2} = \frac{3(n ^{2} +2n)}{3} + \frac{5}{3} =n( ^{2} +2n+1
 
(r=2)

Ad.2 Z tym mam problem.


Co do tych rozwiązań to:
1. Nie wiem o co ci chodziło
2. Czasem muszę się domyślać

Wskazówka:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 11:19 
Użytkownik

Posty: 250
No to mam jeszcze jedno ; Wykaż, że jeżeli m  \in C, to  m ^{6} - 2m +m^{2} jest podzielne przez 36.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 sie 2010, o 11:39 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Michał12345 napisał(a):
No to mam jeszcze jedno ; Wykaż, że jeżeli m  \in C, to  m ^{6} - 2m +m^{2} jest podzielne przez 36.


W liczbach naturalnych nie jest to podzielne ( są nieliczne wyjątki)
dla n=2 mamy 32
dla n=3 mamy 732
Ani jedna z tych liczb nie dzieli się przez 36

Popraw treść
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 11:51 
Użytkownik

Posty: 250
m  \in  C m ^{6} - 2m ^{4 } + m ^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 12:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
m^6 - 2m^4 + m^2 = m^2(m^4-2m^2+1) = m^2 \cdot (m^2 - 1)^2 = \left[ (m-1)m(m+1) \right]^2
I analogicznie - skoro wewnętrzny nawias jest podzielny przez 6 (na tej samej zasadzie co poprzednio), to jego kwadrat przez 36.

I ogólnie, iloczyn kolejnych n liczb naturalnych jest podzielny przez n! - spróbuj tego dowieść, nietrudne, a się przydaje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 250
Althorion napisał(a):
I ogólnie, iloczyn kolejnych n liczb naturalnych jest podzielny przez n! - spróbuj tego dowieść, nietrudne, a się przydaje.



Nie rozumiem, jak to zrobić .
Góra
PostNapisane: 1 sie 2010, o 13:16 
Użytkownik
Cytuj:
Nie rozumiem, jak to zrobić .

Wskazówka:
n!=1 \cdot  2 \cdot  3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot n
Przykład:
8!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7  \cdot 8
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2010, o 13:24 
Użytkownik

Posty: 250
Czyli ?
Góra
PostNapisane: 1 sie 2010, o 13:28 
Użytkownik
Czyli skorzystaj z tego faktu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 34 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność liczb. - zadanie 3  paulinka24  16
 Podzielność liczb. - zadanie 2  krewetunia  1
 Podzielność liczb. - zadanie 4  paulinka24  7
 Podzielność liczb. - zadanie 5  joane20  2
 pary liczb - zadanie 2  poligono  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl