szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sie 2010, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby 13^{2001}
Proszę o pomoc, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Widziałam podobne zadania na forum, ale ich nie rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2010, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 222
Lokalizacja: Katowice
13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}
Z czego wynika, że
13^{2000} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}
Wystarczy obustronie pomnożyć razy 13 i mamy
13^{2001} \equiv 13 \quad \text{(mod 100)}

Czyli ostatnie dwie cyfry 13^{2001} to 13.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sie 2010, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki :)
Obawiam się, że autorowi zadania mogło chodzić o dwie ostatnie liczby? Czyli jeszcze jeśli byś mógł to przedostatnią liczbę poproszę.
Nie wiem o co w tym chodzi, więc może ja teraz mówię głupoty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2010, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 222
Lokalizacja: Katowice
Z pewnością chodzi o dwie ostatnie cyfry, czyli '1' i '3'. Nie wiem czym miałyby być "dwie ostatnie liczby".
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sie 2010, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Warszawa
Ok, skoro tak mówisz to widocznie tak jest. Jeszcze raz dzięki :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lis 2018, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Olsztyn
Skąd wiadomo, że
13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lis 2018, o 16:52 
Użytkownik

Posty: 15655
Lokalizacja: Bydgoszcz
Bratower napisał(a):
Skąd wiadomo, że
13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}


W excelu się liczy
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lis 2018, o 23:25 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Olsztyn
Wydaje mi się, że znalazłem odpowiedź na moje pytanie.
\boxed{13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}

{13^{20} \equiv 3^{20} \equiv 3^{4^{5}}\equiv 81^5 \equiv 81^4 \cdot 81 \equiv 61^2 \cdot 81 \equiv 21 \cdot 81\equiv 1 \pmod{100}} \\ {13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2018, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 12935
Poza tym, że w pewnym miejscu powinno być raczej (3^4)^5 (ale to kwestia zapisu) wygląda OK.
Można też odnotować, że z twierdzenia Eulera mamy 13^{20}\equiv 1\pmod{25}, a ponadto łatwo zauważyć, że 13\equiv 1\pmod{4}, więc i 13^{20}\equiv 1\pmod{4},
z tej pierwszej informacji widzimy, że 13^{20}\pmod{100}\in \left\{ 1,26,51,76\right\}, a z tej drugiej możemy wykluczyć 26, \ 51, \ 76. Niby to przywalenie dość mocnym narzędziem, ale unikamy zgadywania, jakie to potęgi zredukować.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (2 zadania) Suma cyfr liczby trzycyfrowej.  Anonymous  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 Zmieniamy cyfry dziesiątek i jednosci - co to za liczba ?  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl