szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sie 2010, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Liczby k i n są nieparzyste i każda z nich ma tylko trzy dzielniki. Uzasadnij, że różnica tych liczb jest podzielna przez 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sie 2010, o 15:57 
Moderator

Posty: 4435
Lokalizacja: Łódź
Warto zauważyć, że każda z liczb k, n jest kwadratem pewnej liczby nieparzystej.
Istotnie, każda liczba (naturalna) większa od 1 ma przynajmniej dwa dzielniki - liczbę 1 i samą siebie. Ponieważ w myśl założenia liczba k ma trzy dzielniki, to istnieje wśród jej dzielników liczba p różna od 1 i od k. Skoro jednak p jest dzielnikiem k, to k=p\cdot q dla pewnej liczb q. Przy tym q\ne 1, q\ne k. Wobec tego liczba q jest także dzielnikiem liczby k. Nie może być ona różna od p, gdyż byłaby wówczas czwartym dzielnikiem liczby k, wbrew założeniu.
Analogiczne rozumowanie należy przeprowadzić dla liczby n.
Zatem k=s^2, n=t^2 dla pewnych liczb (nieparzystych) s, t.
Stąd, zakładając dla uproszczenia, że k>n k-n=s^2-t^2=(s-t)(s+t). Każda z liczb s+t, s-t jest liczbą parzystą (jako suma/różnica liczb nieparzystych). Zatem k-n jest liczbą podzielną przez 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sie 2010, o 16:02 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Liczby które mają dokładnie 3 dzielniki są kwadratami liczb pierwszych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl