szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sie 2010, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Szczecin
Pierwsze zadanie brzmi:
Czy liczba 199 819 981 998 dzieli się przez:
a) 9
b) 81
c) 37

Drugie zadanie brzmi:
Liczba 13260394^2
a) jest podzielna przez 13
b) przy dzieleniu przez 13 daje resztę 1
c) przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1

odpowiedzi Tak/Nie do każdego podpunktu.

Proszę o wytłumaczenie, w jaki sposób można szybko określić jaka jest odpowiedź do tego typu zadań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sie 2010, o 13:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17850
Lokalizacja: Cieszyn
2. 13\,260\,394=13\,000\,000+260\,000+390+4

Pierwsze trzy składniki dzielą się przez 13, więc reszta z dzielenia tej liczby przez 13 to 4. A reszta z dzielenia jej kwadratu (o co pytasz), jest taka, jak reszta z kwadratu reszty, tj. 4^2=16, co daje resztę 3.

Podzielność przez 3: jest twierdzenie, że liczba ma tę samą resztę, co suma jej cyfr. W szkole poznajemy tylko resztę 0, czyli cechę podzielności przez 3. Suma cyfr liczby 13260394 to 28, więc reszta to 1, zatem i kwadrat daje resztę 1.

1. Z podzielnością przez 9 jest tak jak z podzielnością przez 3 (ta sama reszta z dzielenia liczby i sumy jej cyfr). Stąd liczba 199 819 981 998 jest podzielna przez 9. Resztę łapie Windowsowy kalkulator. Można też policzyć ilorazy pisemnie, nie jest to zbyt długie. Żeby tego nie robić, pogrupowałem naszą liczbę po 3 cyfry jak ja napisałeś (jak na początku zad. 2), powyznaczałem reszty z dzielenia przez 81 i 37, pododawałem je i sumy tych reszt są jest podzielne odpowiednio przez 81 i 37, więc i cała liczba też jest podzielna. Uzasadnienie, że tak można zrobić, pozostawiam Tobie.

Zapewne są lepsze sposoby, ale ja nie korzystałem z żadnego z zaawansowanych twierdzeń z teorii liczb, używałem jedynie własności dzielenia z resztą. Wymienię je teraz.

a\mod b to reszta z dzielenia a przez b

(a+b)\mod c=((a\mod c)+(b\mod c))\mod c

(ab)\mod c=((a\mod c)\cdot (b\mod c))\mod c

Własność ta mówi, że aby wyznaczyć resztę z dzielenia sumy, wystarczy wyznaczyć reszty składników, dodać je i ewentualnie wziąć z tego resztę. Podobnie z iloczynem, tylko reszty czynników mnożymy i bierzemy z tego resztę. Użycie było pokazane w rozwiązaniu zad. 2.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl