szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 sie 2010, o 09:31 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: krk
na powierzchni xyz=1 wyznaczyć punkt, który leży najbliżej początku układu współrzędnych
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2010, o 09:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Dana bedzie dana powierzchnia \alpha : xyz -1 =0
Niech A  \in \alpha, wówczas A=(x,y, \frac{1}{xy})

Odległośc (d) punktu (0,0,0) od A mozemy obliczyć ze wzoru na odległośc punktów od siebie w przestrzeni R^3.
Stąd d= \sqrt{x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2} } i szukamy minimum funkcji d(x,y)
Ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe jest dodatnie i z wlasności pierwiastka kwadratowego możemy szukać minimum po samym wnętrzu czyli szukasz minimum funkcji f(x,y)=x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 sie 2010, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: krk
ale jak wyliczyć takie minimum???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2010, o 15:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Pytanie za 100pkt: czy pochodne cząstkowe Ci coś mówią?
Jeśli nie to: obstawiam (ale ciężko o szybkie i krótkie uzasadnienie) że y=x lub y=-x wówczas:
2x^2 + \frac{1}{x^4} z analizy I pochodnej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 sie 2010, o 16:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1680
Lokalizacja: Poznań
Można również skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną przy szukaniu minimum interesującego nas wyrażenia x^2+y^2+\frac{1}{(xy)^2}, w wypadku gdyby pochodne cząstkowe nic autorce tematu nie mówiły ;)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 sie 2010, o 09:02 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: krk
ale dalej nie wiem co mam zrobic?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2010, o 10:25 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chodziło o to, że dla dowolnych nieujemnych liczb a_{1},a_{2},...,a_{n} zachodzi:

\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \ge \sqrt[n]{a_{1}a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}

Przy czym powyższa nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy a_{1}=a_{2}=...=a_{n}.

Korzystając z powyższej zależności i kładąc a_{1}=x^{2},a_{2}=y^{2},a_{3}=\frac{1}{(xy)^{2}}, otrzymujemy:

\frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{x^{2}y^{2} \cdot \frac{1}{(xy)^{2}}}=\sqrt[3]{1}=1, skąd:

x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}} \ge 3, przy czym \frac{x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}}{3} =3 wtedy i tylko wtedy, gdy:

x^{2}=y^{2}=\frac{1}{(xy)^{2}}

Z powyższej zależności wynika, że x= \pm 1,y= \pm 1.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 06:24 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: krk
jak obliczyc to za pomoca pochodnych???
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Powierzchnia styczna do płaszczyzny  xXartik10Xx  1
 Powierzchnia telewizora  michald  1
 Powierzchnia stożkowa.  rymek94  1
 powierzchnia prostokreślna  mateus_cncc  0
 Powierzchnia- jak przekształcić wzór  crav21  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl