szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2010, o 15:10 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Skierniewice
Witam, potrzebuję pomocy w rozwiązaniu następujących zadań:
1.
Podać postać zwartą ciągu a_{n}=\left \( 0, 1, \frac{3}{2},2,\frac{5}{2},... \right \)
Niestety nie mam pomysłu, jedynie co mi przychodzi na myśli, to wzór \frac{G(x)}{1-x} = g _{0} + (g_{0} + g_{1}x) + (g_{0} + g_{1} + g_{2}) x^{2} + ..... ale nie wiem czy to w ogóle dobry kierunek.

Dwóch następnych, nawet nie wiem jak ruszyć
2.
Podać ilość rozwiązań a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=12, gdzie:
a_{1}\leq 10 \wedge  a_{1}\in N
a_{2}\leq 10 \wedge  a_{2}\in N
a_{3}\leq 3 \wedge  a_{3}\in N
a_{4}\leq 3 \wedge  a_{4}\in N

3.
Podać postać zwartą ciągu określonego w sposób rekurencyjny przy wykorzystaniu funkcji tworzących: \begin{cases} &b_{0}=2 \\ &b_{1}=3 \\ &b_{n}=2b_{n-1}+3b_{n-2} \end{cases}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2010, o 16:03 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
2.
a_1, a_2\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \\
a_3, a_4 \in \{0,1,2,3\}

Mówiąc kolokwialnie zamieniasz sobie liczby z tych zbiorów na potęgi iksa tworząc wielomiany

\underbrace{(1+x+x^2+...+x^{10})}_{a_1}\underbrace{(1+x+x^2+...+x^{10})}_{a_2}\underbrace{(1+x+x^2+x^{3})}_{a_3}\underbrace{(1+x+x^2+x^{3})}_{a_4}

Teraz to wszystko wymarzasz, a twoją odpowiedzią jest współczynnik stojący przy x^{12}. Oczywiście nie musisz wszystkiego wymnażać dosłownie bo interesuje cię tylko wsp. przy x^{12}. Bez f. tworzących to zadanie można zrobić dużo szybciej. Chyba po prostu słabo dobrany przykład.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2010, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Somewhere and nowhere
Osobiscie uzylbym tu zasady wlaczen i wylaczen. Zakladasz A_i takie, ze dla danego i x_i nie spelnia zalozenia. Czyli np. jesli x_1 < 10, to bierzesz przypadek, ze x_1 = 10 + \{ 0, 1, 2, ... n \}, gdzie n stanowi kres danego zbioru liczbowego, ktorego wartosc dodana do 10 daje maksymalna wartosc dla danego zbioru szukanego ( np. dla szukanej sumy = 15, n bedzie rowne 5 ). Teraz ustalasz sobie funkcje D( n, k ) =n + k - 1 \choose k - 1 i to jest Twoja funkcja wybierajaca wszystkie liczby takie, ze x_i nie spelnia Twojego zalozenia. Dziala ona w taki sposob, ze masz dane x_i, ktorego wartosc ustawiasz na pierwsza niespelniajaca zalozenia ( np. dla x_1 < 10 i sumy wszystkich x na 15 ) i sumujesz po pozostalych kombinacjach podzialu pozostalego zbioru na wszystkie x'y, przy czym dany x bedzie >= 10.

Dla x_1 < 10 i sumy Sum_{i \in I} x_i = 15 masz D( 5, 4 ), co stanowi podzial pozostalego zbioru wartosci 5 pomiedzy 4 x'y, z czego pierwszy jest zawsze niewlasciwy.
Z zasady wlaczen i wylaczen sumujesz wszystkie takie sytuacje, odejmujesz te, ktore sie powtarzaja i odejmujesz wszystkie te przypadki od wiekszej calosci ( czyli wszystkich przypadkow ), ktore stanowia po prostu D( maxsum, count_x ). Pewnie wyszlo to tlumaczenie mocno chaotycznie, ale mysle, ze takie "cos" i dodatkowo teoria wlasciwa z "wlaczen i wylaczen" pomoga Ci latwo rozwiazac 2 zadanie.

Ponadto mozesz rozwiazac z enumeratorow - jak sugeruje kolega wyzej, natomiast nawet wymnazanie konkretnego przypadku moze byc dosc uciagliwe.


Z powazaniem, M4ksiu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2015, o 07:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
1.
Podać postać zwartą ciągu a_{n}=\left \( 0, 1, \frac{3}{2},2,\frac{5}{2},... \right \)

Rozważmy ciąg b_{n}=\left \( \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2},2,\frac{5}{2},... \right \)
który jest arytmetyczny
Przesunięty ciąg a_{n}też jest arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny można zapisać w postaci rekurencyjnej

\begin{cases} a_{n}=a_{n-1}+r \\ a_{0}=c \end{cases} \\

b_{n}=\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}n\\
b_{n} =\frac{1}{2}\left( n+1\right) \\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{b_{n}x^n}= \frac{1}{2}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)x^{n} }  \right)\\
B\left( x\right)= \frac{1}{2} \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n+1} \right) \\
=\frac{1}{2} \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \frac{x}{1-x} \right)\\
B\left( x\right)  =\frac{1}{2}\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }     \\
A\left( x\right)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }-1 \right)\\
A\left( x\right)=\frac{1}{2} \frac{2x-x^2}{\left( 1-x\right)^2 }\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania rekurencyjne, funkcje tworzące  mazi_piotrek  1
 Metoda Tworzaca - Dyskretna  jarek001  1
 dyskretna. Ile różnych 11...  dejna  1
 Funkcje boolowskie - zadanie 2  ziben69  0
 Matematyka dyskretna - graf planarny  chlebzmaslem  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl