Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Dwa zadania z indukcji

Strona 1 z 1

[ Posty: 5 ]

Autor

Wiadomość

o5try

Tytuł: Dwa zadania z indukcji

Napisane: 1 wrz 2010, o 11:08

Posty: 9
Lokalizacja: Poznań

Bardzo proszę o sprawdzenie moich rozwiązań.
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n:
a) liczba $n^{2} +n$ jest podzielna przez $2$
b) liczba $n^{3} +2n$ jest podzielna przez $3$

Rozwiązanie:
a) Wyłączam przed nawias $n$ i otrzymuję $n(n+1)$ . Liczba, która jest iloczynem dwóch kolejnych liczb jest podzielna przez $2$ . Czy takie uzasadnienie wystarczy?

b) Założenie $n^{3}+2n$ jest podzielne przez $3$ .
Teza $(n+1)( (n+1)^{2}+2)$ jest podzielne przez $3$ .

$(n+1)( n^{2}+2n+3)= n^{3}+3n^{2}+5n+3= n^{3}+2n+3n^{2}+3n+3=(n ^{3}+2n)+3(n ^{2}+n+3)$

Pierwszy składnik sumy jest podzielny przez $3$ z założenia, natomiast drugi składnik z naturalnego powodu.

Góra

miodzio1988

Tytuł: Dwa zadania z indukcji

Napisane: 1 wrz 2010, o 11:11

a) Tak

b)jeśli przekształcenia są ok to jest ok

Góra

kuch2r Offline

Tytuł: Dwa zadania z indukcji

Napisane: 1 wrz 2010, o 11:13

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska

o5try napisał(a):

Rozwiązanie:
a) Wyłączam przed nawias $n$ i otrzymuję $n(n+1)$ . Liczba, która jest iloczynem dwóch kolejnych liczb jest podzielna przez $2$ . Czy takie uzasadnienie wystarczy?

uzaasadnienie wystarczy w momencie, gdy mamy wykazać podzielność bez narzucania metody rozwiązywania zadania.. w naszym przypadku, tj. w temacie postu pojawia się pojęcie indukcji, zatem będąc precyzyjnym należałoby użyć tejże indukcji, w celu wykazania podzielności..

Góra

Mersenne Offline

Tytuł: Dwa zadania z indukcji

Napisane: 1 wrz 2010, o 11:21

Posty: 1010
Lokalizacja: Bytom/Katowice

a) analogicznie jak w drugim

zał.: $k^{2}+k$ - podzielne przez dwa

teza: $(k+1)^{2}+k+1$

dowód: $(k+1)^{2}+k+1=k^{2}+2k+1+k+1=k^{2}+k+2k+2=(k^{2}+k)+2(k+1)$

Pierwszy składnik jest podzielny przez $2$ z założenia, drugi składnik również dzieli się przez $2$ , zatem suma jest podzielna przez $2$ .

Góra

o5try

Tytuł: Dwa zadania z indukcji

Napisane: 1 wrz 2010, o 11:52

Posty: 9
Lokalizacja: Poznań

Dziękuję bardzo!

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 5 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Dwa zadania z indukcji - zadanie 2	Jumper1355	2
Dwa zadania z indukcji - zadanie 3	MRraz	8
(3 zadania) Dowodzenie podzielności - indukcja	pandaboy	19
(4 zadania) Indukcja	basia	8
3 zadanka z indukcji	fishman4	3

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]