szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2010, o 12:08 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Poznań
Bardzo proszę o sprawdzenie moich rozwiązań.
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n:
a) liczba n^{2} +n jest podzielna przez 2
b) liczba n^{3} +2n jest podzielna przez 3

Rozwiązanie:
a) Wyłączam przed nawias n i otrzymuję n(n+1). Liczba, która jest iloczynem dwóch kolejnych liczb jest podzielna przez 2. Czy takie uzasadnienie wystarczy?

b) Założenie n^{3}+2n jest podzielne przez 3.
Teza (n+1)( (n+1)^{2}+2) jest podzielne przez 3.

(n+1)( n^{2}+2n+3)= n^{3}+3n^{2}+5n+3= n^{3}+2n+3n^{2}+3n+3=(n ^{3}+2n)+3(n ^{2}+n+3)

Pierwszy składnik sumy jest podzielny przez 3 z założenia, natomiast drugi składnik z naturalnego powodu.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
PostNapisane: 1 wrz 2010, o 12:11 
Użytkownik
a) Tak

b)jeśli przekształcenia są ok to jest ok
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2010, o 12:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
o5try napisał(a):
Rozwiązanie:
a) Wyłączam przed nawias n i otrzymuję n(n+1). Liczba, która jest iloczynem dwóch kolejnych liczb jest podzielna przez 2. Czy takie uzasadnienie wystarczy?

uzaasadnienie wystarczy w momencie, gdy mamy wykazać podzielność bez narzucania metody rozwiązywania zadania.. w naszym przypadku, tj. w temacie postu pojawia się pojęcie indukcji, zatem będąc precyzyjnym należałoby użyć tejże indukcji, w celu wykazania podzielności..
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 wrz 2010, o 12:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1010
Lokalizacja: Bytom/Katowice
a) analogicznie jak w drugim

zał.: k^{2}+k- podzielne przez dwa

teza: (k+1)^{2}+k+1

dowód: (k+1)^{2}+k+1=k^{2}+2k+1+k+1=k^{2}+k+2k+2=(k^{2}+k)+2(k+1)

Pierwszy składnik jest podzielny przez 2 z założenia, drugi składnik również dzieli się przez 2, zatem suma jest podzielna przez 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2010, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Poznań
Dziękuję bardzo!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwa zadania z indukcji - zadanie 2  Jumper1355  2
 (3 zadania) Dowodzenie podzielności - indukcja  pandaboy  19
 (4 zadania) Indukcja  basia  8
 3 zadanka z indukcji  fishman4  3
 dwumian Newtona na podstawie indukcji mat.  Qasi  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl